Teorema de Euler - De Moivre

Tal como se hizo en la sección anterior, vamos a extender la serie de Taylor de la función real $f(x)=e^x$, al plano complejo, reemplazando la variable $x$, por el imaginario puro $z=i\theta$ y de esta manera obtener $$e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots+\frac{(i\theta)^n}{n!}$$ Note que las potencias pares son reales, mientras que las potencias impares son imaginarias $$e^{i\theta}=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^6}{6!}-i\frac{\theta^7}{7!}+\frac{\theta^8}{8!}+\cdots$$ Separando las partes reales de las imaginarias se tiene $$\begin{align}e^{i\theta}&=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\frac{\theta^8}{8!}-\cdots+(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{2n!}+\cdots\right)+\\&\hspace{2cm}i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots+(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\right)\\&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}\right)+i\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1}\right)\\&=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\end{align}$$ Obteniendo de esta manera la fórmula de Euler $$\boxed{e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}}$$ Una consecuencia de esto es el teorema de De Moivre  $$\boxed{(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}}$$ En efecto, aplicando propiedades de la exponencial y la formula de Euler, el resultado es evidente: $$\left(\cos{\theta}+i\sin{\theta}\right)^n=\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$$

Funciones trigonométricas

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial: $$\begin{align}\sin{\theta}=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\hspace{2cm}\cos{\theta}=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \end{align}$$ A partir de estas igualdades, es posible extender las funciones trigonométricas sobre el plano complejo: $$\begin{align}\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\hspace{2cm}\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{align}$$ Estas funciones trigonométricas cumplen con propiedades de sus similares aplicadas a los números reales. En efecto, sean los números complejos $z$ y $w$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

• $\cos^2{z}+\sin^2{z}=1$  Identidad pitagórica.
• $\cos(-z)=\cos(z)$  Paridad de la función coseno.
• $\sin(-z)=-\sin(z)$  Paridad de la función seno.
• $\sin(z+w)=\sin(z)\cos(w)+\sin(w)\cos(z)$ seno de la suma de dos ángulos. 
• $\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sin(w)\sin(z)$ coseno de la suma de dos ángulos.

Funciones trigonométricas inversas 

Así como se han extendido las funciones trigonométricas, se pueden extender sus inversas. Veamos un ejemplo con la inversa del seno $$\sin^{-1}{z}=-i\ln(iz\pm\sqrt{1-z^2})$$ Por definición de función inversa $\sin\left(\sin^{-1}(z)\right)=z$ y consideremos la variable $w=\sin^{-1}(z)$, por tanto $$z=\sin{w}=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}.$$ Reescribiendo la ecuación a su forma cuadrática, se tiene  $$e^{i2w}-2ize^{iw}-1=0.$$ Resolviendo en términos de $e^{iw}$ tenemos $$e^{iw}=\frac{2iz\pm\sqrt{-4z^2+4}}{2}=iz\pm\sqrt{1-z^2}.$$ Finalmente, despejando a $w$ se llega al resultado

$$\sin^{-1}{z}=-i\ln(iz\pm\sqrt{1-z^2}).$$

De manera similar se pueden extender 

• $\cos^{-1}{z}=-i\ln(z\pm\sqrt{z^2-1})$
• $\tan^{-1}{z}=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{i+z}{i-z}\right)$

Funciones hiperbólicas 

Las funciones hiperbólicas de seno y coseno se pueden extender de manera directa a partir de su definición (de click aquí para mas información) reemplazando la variable real $x$ por la variable compleja $z$, teniendo de esta manera: $$\begin{align}\sinh{z}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\hspace{2cm}\cosh{z}=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \end{align}$$ De manera similar a las funciones trigonométricas complejas, las funciones hiperbólicas cumplen con propiedades de sus similares aplicadas a los números reales. En efecto, sean los números complejos $z$ y $w$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

• $\cosh^2{z}-\sinh^2{z}=1$  Identidad pitagórica.
• $\cosh(-z)=\cosh(z)$  Paridad de la función coseno.
• $\sinh(-z)=-\sinh(z)$  Paridad de la función seno.
• $\sinh(z+w)=\sinh(z)\cosh(w)+\sinh(w)\cosh(z)$ seno de la suma de dos variables. 
• $\cosh(z+w)=\cosh(z)\cosh(w)+\sinh(w)\sinh(z)$ coseno de la suma de dos variables.

Funciones hiperbólicas inversas 

De manera análoga, se pueden extender las funciones hiperbólicas inversas. Veamos un ejemplo con la inversa del seno hiperbólico $$\sinh^{-1}{z}=\ln(z+\sqrt{z^2+1})$$ Por definición de función inversa $\sinh\left(\sinh^{-1}(z)\right)=z$ y consideremos la variable $w=\sinh^{-1}(z)$, por tanto $$z=\sinh{w}=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}.$$ Reescribiendo la ecuación a su forma cuadrática, se tiene  $$e^{2w}-2ze^{w}-1=0.$$ Resolviendo en términos de $e^{w}$ tenemos $$e^{w}=\frac{2z+\sqrt{4z^2+4}}{2}=z+\sqrt{z^2+1}.$$ Finalmente, despejando a $w$ se llega al resultado

$$\sinh^{-1}{z}=\ln(z+\sqrt{z^2+1}).$$

De manera similar se pueden extender 

• $\cosh^{-1}{z}=\ln{\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)}$
• $\tanh^{-1}{z}=\frac{1}{2}\ln{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)}$

Ejemplo 1 Muestre que la función $\sin{z}$ se puede escribir de la forma $\sin{z}=u(x,y)+iv(x,y)$. En efecto, extendiendo la función $\sin{z}$ al plano complejo, se tiene: $$\begin{align}\sin{z}&=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}\\&=\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-e^{y}(\cos{x}-i\sin{x})}{2i}\\&=\sin{x}\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+i\cos{x}\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\\&=\sin{x}\cosh{y}+i\cos{x}\sinh{y}\,\checkmark\end{align}$$

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