Funciones hiperbólicas

El primer acercamiento al estudio de las funciones hiperbólicas comienza cuando algunos matemáticos del siglo XVII (Los hermanos Bernoulli, Gottfried Leibniz y Cristian Huygens, entre otros) se aplican a resolver el problema de encontrar una expresión matemática para la curva que describe una cuerda o cadena que se curva bajo la acción de la gravedad: la famosa catenaria.

En el siglo XVIII, los matemáticos comparan las coordenadas de la circunferencia unitaria $x^2+y^2=1$ con las de la hipérbola equilátera unitaria $x^2-y^2=1$. Dicha comparación se extiende a aquella entre el área bajo la circunferencia $$\int\sqrt{1-x^2}\,dx$$ y el área bajo la hipérbola $$\int\sqrt{x^2-1}\,dx.$$ En 1757, el italiano Vincenzo Riccati desarrolló ampliamente la teoría de las funciones hiperbólicas con base en la geometría de la hipérbola. Unos años después, J. H. Lambert introduce formalmente $\sinh{x}$, $\cosh{x}$ y $\tanh{x}$ para los equivalentes hiperbólicos de las funciones circulares de la trigonometría plana. Con ello nace la trigonometría hiperbólica, que habría de prestar gran utilidad a la ciencia moderna.

Interpretación geométrica 

Las funciones circulares como su nombre lo indican nacen de la circunferencia unitaria centrada en el origen. 

Applet 1. Función $y=\sin{\theta}$

El punto $P=(x(\theta),y(\theta))$ esta sobre la circunferencia, si y solo si, se conforma el área circular $\angle OBP=A$. Se puede demostrar mediante regla de tres simple que $$\theta = 2A.$$  Ahora, para graficar por ejemplo la función $y=\sin{\theta}$, basta con plotear los puntos $$S=(2A, y(P))$$ donde $y(P)$ es la ordenada del punto $P$. Tal como se puede apreciar en el applet 1. 

De forma análoga, las funciones hiperbólicas nacen de una hipérbola equilátera unitaria. 

Applet 2. Función $y=\sinh{t}$

Aquí, el punto $P=(x(t),y(t))$ se ubica sobre la rama derecha de la hipérbola, si y solo si, se conforma el área $\angle OBP=A$. Por tanto, se debe suponer por analogía a las funciones circulares que  $$t = 2A.$$ Tomamos el área $\angle OBP$ como positiva si el sentido desde $OB$ hacia $OP$ es antihorario y como negativa en caso contrario. De manera análoga a las funciones circulares, para graficar por ejemplo la función $y=\sinh{t}$, debemos plotear los puntos $$S=(2A, y(P))$$  tal como se puede apreciar en el applet 2. 

Deducción de las funciones hiperbólicas:

Calculando el área $\angle OBP$ del sector sombreado en el Applet 2, se tiene la siguiente igualdad $$\begin{align}\int_0^s \sqrt{1+y^2}dy-\frac{1}{2}sc=\frac{t}{2}\end{align}$$ resolviendo la integral, el área se transforme en $$\begin{align}\frac{1}{2}\sqrt{1+s^2}s+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+s^2}+s\right)-\frac{1}{2}sc=\frac{t}{2}\end{align}$$ teniendo en cuenta la identidad hiperbólica de la forma $c=\sqrt{1+s^2}$ el calculo se reduce a $$\begin{align}\frac{1}{2}cs+\frac{1}{2}\ln\left(c+s\right)-\frac{1}{2}sc=\frac{t}{2}\end{align}$$ simplificando esta expresión tenemos $$\begin{align}\boxed{c+s=e^t}\end{align}$$ Por otro lado, aplicando la identidad hiperbólica equivalente a $(c-s)(c+s)=1$ podemos deducir que $$\begin{align}\boxed{c-s=e^{-t}}\end{align}$$ Finalmente, restando y sumado las ecuaciones en las cajas, tenemos las expresiones para le seno y coseno hiperbólico: $$\begin{align}\sinh{t}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}\cosh{t}=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\end{align}$$