Funciones Armónicas

Si las segundas derivadas parciales de $u$ y $v$ respecto de $x$ y $y$ existen y son continuas en una región $R$, entonces, de acuerdo con las ecuaciones de Cauchy Riemann, se encuentra que $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,\hspace{1cm}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$$ En estas condiciones se sigue que la parte real y la parte imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación de Laplace, que se denota $$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}=0,\hspace{1cm}\nabla^2\Psi=0\hspace{0.5cm}\text{donde}\hspace{0.5cm}\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$ Al operador $\nabla^2$ se le suele llamar laplaciano. Funciones como $u(x, y)$ y $v (x, y)$ que satisfagan la ecuación de Laplace en una región $R$ se denominan funciones armónicas y se dice que son armónicas en $R$.

Demostración. 

Si $f(z)$ es analítica en $R$, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en $R$, es decir: $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\hspace{1cm}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$ Si se supone que $u$ y $v$ tienen segundas derivadas parciales continuas, al diferenciar ambos lados la primera ecuación respecto a $x$ y ambos lados la segunda ecuación respecto a $y$, se tiene: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y},\hspace{1cm}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial y\partial x}$$ de donde $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$ es decir, $u$ es armónica. De manera semejante al diferenciar ambos lados la primera ecuación de Cauchy Riemann respecto a $y$ y al diferenciar ambos lados la segunda ecuación respecto a $x$, se tiene: $$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$$ por lo que $v$ es armónica.

Nota 1: Si $f(z)$ es analítica en $R$, todas sus derivadas existen y son continuas en $R$, por tanto, no serán necesarios los supuestos anteriores.

Ejemplo 1: Considere la función $$u(x,y)=x^2-y^2$$

• Demuestre que $u(x, y) = x^2-y^2$ es armónica
• Encuentre $v(x, y)$ tal que $f(z)=u+iv$ sea analítica
• Determine la fución $f(z)$

Solución

• Para demostrar que $u(x,y)$ es armónica debemos construir su Laplaciano, en efecto; $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x\right)=2$$ y $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-2y\right)=-2$$ Por tanto $\nabla^2 u=2-2=0$, es decir, $u$ es armónica.
• Para encontrar $v(x,y)$ debemos usar la primera ecuación de Cauchy-Riemann $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\boxed{v=\int\frac{\partial u}{\partial x}dy+F(x)}$$ en nuestro caso $$\begin{align}v&=\int 2xdy+F(x)\\&=2xy+F(x)\end{align}$$ donde $F(x)$ corresponde a una constante de integración, la cual se calcula usando la segunda ecuación de Cauchy-Riemann $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\int\frac{\partial u}{\partial x}dy+F(x)\right)=-\int\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}dy-F'(x)$$ de esta manera, se tiene la siguiente ecuación diferencial para hallar $F(x)$ $$\begin{align}\boxed{F'(x)=-\left(\int\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}dy+\frac{\partial u}{\partial y}\right)}\end{align}$$ en particular $$F'(x)=-\left(\int 2dy+(-2y)\right)=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}F(x)=k$$ por tanto $$f(z)=x^2-y^2+i(2xy+k)$$
• Por último, para determinar $f(z)$ hacemos $f(x)=u(x,0)+iv(x,0)$ y luego reemplazamos la variable $x$ por $z$, teniendo $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$. En nuestro ejemplo: $$f(x)=x^2+ik$$ por tanto $$\boxed{f(z)=z^2+ik}$$ Note que esta función es analítica.

Nota 2: Si se conoce la función armónica $v(x,y)$ se puede calcular $u(x,y)$ de la siguiente manera: $$u(x,y)=\int\frac{\partial v}{\partial y}dx+F(y)$$ donde $$F'(y)=-\left(\int\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}dx+\frac{\partial v}{\partial x}\right)$$ resolviendo la ecuación diferencial hallamos $F(y)$. En el caso de ser constante, podemos anularla y obtener una función $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ y decir que esta es la función buscada salvo una constante real. 

Ejemplo 2: Considere la función $$v(x,y)=e^{-y}\sin{x}$$

• Demuestre que $v(x, y)$ es armónica
• Encuentre $u(x, y)$ tal que $f(z)=u+iv$ sea analítica
• Determine la fución $f(z)$

Solución

• Para demostrar que $v(x,y)$ es armónica debemos construir su Laplaciano, en efecto; $$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-y}\cos{x}\right)=-e^{-y}\sin{x}$$ y $$\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-e^{-y}\sin{x}\right)=e^{-y}\sin{x}$$ Por tanto $\nabla^2 v=0$, es decir, $v$ es armónica.
• Para encontrar $u(x,y)$ debemos usar la primera ecuación de Cauchy-Riemann en su forma integral $$\boxed{u=\int\frac{\partial v}{\partial y}dx+F(y)}$$ en nuestro caso $$\begin{align}u&=-\int e^{-y}\sin{x}\,dy+F(y)\\&=e^{-y}\sin{x}+F(y)\end{align}$$ en donde $$\begin{align}\boxed{F'(y)=-\left(\int\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}dx+\frac{\partial v}{\partial x}\right)}\end{align}$$ luego $$F'(y)=-\left(e^{-y}\cos{x}-e^{-y} sin{x}\right)=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}F(y)=k$$ por tanto $$f(z)=e^{-y}\sin{x}+i\,e^{-y}\sin{x}$$ salvo una constante real $k$.
• Por último, para determinar $f(z)$ hacemos $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$. En nuestro ejemplo: $$f(z)=\sin{z}+i\sin{z}=(1+i)\sin{z}.$$ Note que esta función es analítica.

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