Derivada de una función compleja.

Si $f(z)$ es unívoca en una región $R$ del plano $z$, la derivada de $f(z)$ se define como $$f'(z)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$ siempre que este límite exista independientemente de la manera en que $\Delta z\to0$. Si es así, se dice que $f(z)$ es diferenciable en $z$. Aunque diferenciabilidad implica continuidad, lo contrario no es verdad.

Funciones analíticas

Si la derivada $f'(z)$ existe en todos los puntos $z$ de una región $R$, se dice que $f(z)$ es analítica en $R$ y se refiere a una función analítica en $R$. Como sinónimos de analítica suelen usarse también los términos regular y holomorfa. Se dice que una función $f(z)$ es analítica en un punto $z\circ$ si existe una vecindad $|z-z_\circ|<d$ en la que para todos sus puntos exista $f'(z)$.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Una condición necesaria para que $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ sea analítica en una región $R$ es que, en $R$, $u$ y $v$ satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann $$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \hspace{1.5cm}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}$$ Si las derivadas parciales son continuas en $R$, entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condiciones suficientes para que $f(z)$ sea analítica en $R$. 

Demostración.

Necesidad. En efecto, para que $f(z)$ sea analítica, el límite $$\begin{align}f'(z)&=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\\&=\lim_{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac{\left[u(x+\Delta x,y+\Delta y)+iv(x+\Delta x,y+\Delta y)\right]-\left[u(x,y)+iv(x,y)\right]}{\Delta x+i\Delta y}\\&=\lim_{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac{\left[u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)\right]+i\left[v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x,y)\right]}{\Delta x+i\Delta y}\end{align}$$ debe existir independientemente de la manera en la que $\Delta z$ (o $\Delta x$ y $\Delta y$) tiendan a cero. Se considerarán dos aproximaciones posibles.

• $\Delta y=0$, $\Delta x\to 0$. En este caso, la definición de derivada se convierte en $$\begin{align}f'(z)&=\lim_{\Delta x\to 0}\left[\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}\right]+i\lim_{\Delta x\to 0}\left[\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}\right]\\&=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\end{align}$$ siempre que existan las derivadas parciales.
• $\Delta x=0$, $\Delta y\to 0$. En este caso, la definición de derivada se convierte en $$\begin{align}f'(z)&=\lim_{\Delta y\to 0}\left[\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{i\Delta y}\right]+\lim_{\Delta y\to 0}\left[\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y}\right]\\&=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\end{align}$$

Pero $f(z)$ no puede ser analítica a menos que estos dos límites sean idénticos. Por tanto, una condición

necesaria para que $f(z)$ sea analítica es que $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \hspace{1.5cm}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

Suficiencia. Como se supone que $\frac{\partial u}{\partial x}$ y  $\frac{\partial u}{\partial y}$ son continuas, se tiene $$\begin{align}\Delta u&=u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)\\&=[u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y+\Delta y)]+[u(x,y+\Delta y)-u(x,y)]\\&=\frac{\partial}{\partial x}u(x,y+\Delta y)\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y\\&=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\epsilon_1\right)\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y\\&=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+\epsilon_1\Delta x\end{align}$$ donde $\epsilon_1\to 0$ cuando $\Delta y\to 0$. De igual manera, como se supone que $\frac{\partial v}{\partial x}$ y  $\frac{\partial v}{\partial y}$ son continuas, se tiene $$\begin{align}\Delta v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+\epsilon_2\Delta x\end{align}$$ donde $\epsilon_2\to0$ cuando $\Delta y\to0$. Ahora, formado el diferencial $\Delta w=\Delta u+i\Delta v$ nos da $$\Delta w=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)\Delta y+\epsilon\Delta x$$ donde $\epsilon=\epsilon_1+i\epsilon_2\to 0$ cuando $\Delta y\to 0$. De acuerdo con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la expresión anterior se reduce a $$\begin{align}\Delta w&=\left(\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)\Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)\Delta y+\epsilon\Delta x\\&=\left(\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)(\Delta x+i\Delta y)+\epsilon\Delta x\end{align}$$ Al dividir entre $\Delta z$ y tomar el límite cuando $\Delta z\to 0$, se ve que $$f'(z)=\frac{dw}{dz}=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$ de manera que la derivada existe y es única, es decir, $f(z)$ es analítica en $R$.

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