Teoremas de integración I: de volumen a superficie

Los teoremas que se presentan a continuación son de la forma $$\int_{V_\circ}\nabla*\nu\,dV=\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}*\nu$$ donde $\nu$ es un escalar o cantidad vectorial y la estrella $*$ representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).

Teorema de divergencia o de Gauss. Si $\vec{V}$ es un campo vectorial continuo en un volumen $V_\circ$ limitado por una superficie cerrada $\partial V_\circ,$ entonces $$\int_{V_\circ}\nabla\cdot\vec{V}\,dV=\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\cdot d\vec{A}$$ Demostración. Se divide el volumen $V_\circ$ en $N$ subregiones con volúmenes $\Delta V_i$ con $i=1,2,\dots,N$. Se define el punto $(x_i,y_i,z_i)$ dentro de cada $\Delta V_i$ y aplicando la definición de la divergencia en su forma integral, tenemos: $$\nabla\cdot\vec{V}=\frac{1}{\Delta V_i}\oint_{\partial V_i}\vec{V}\cdot d\vec{A}+\epsilon_i,\hspace{1cm}\text{donde}\quad\epsilon_i\to 0\quad\text{cuando}\quad \Delta V_i\to 0$$ al multiplicar por $\Delta V_i$ se tiene: $$\nabla\cdot\vec{V}\,\Delta V_i=\oint_{\partial V_i}\vec{V}\cdot d\vec{A}+\epsilon_i\,\Delta V_i.$$ Realizando la suma de cada subregión $$\sum_{i=1}^{N}\nabla\cdot\vec{V}\,\Delta V_i=\sum_{i=1}^{N}\oint_{\partial V_i}\vec{V}\cdot d\vec{A}+\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta V_i.$$ Las integrales de área de las superficies adyacentes con frontera común se cancelan, pues las normales externas tienen direcciones opuestas sobre la superficie frontera común. Así que sólo queda la integral de superficie sobre $\partial V_\circ$, es decir:

Fig 1. Subregiones de $V_\circ$

$$\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\oint_{\partial V_i}\vec{V}\cdot d\vec{A}=\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\cdot d\vec{A},$$ además por definición de integral múltiple $$\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\nabla\cdot\vec{V}\,\Delta V_i=\int_{V_\circ}\nabla\cdot\vec{V}\,dV.$$ Por tanto $$\int_{V_\circ}\nabla\cdot\vec{V}\,dV=\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\cdot d\vec{A}+\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta V_i.$$ Para demostrar que el segundo término de la derecha se anula, definimos $\epsilon_m=\max\,\epsilon_i$ con el fin de acotar superiormente este término, en efecto; $$\left|\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta V_i \right|\leq\sum_{i=1}^{N}\left|\epsilon_i\right|\Delta V_i\leq\left|\epsilon_m\right|\sum_{i=1}^{N}\Delta V_i=\left|\epsilon_m\right|V_\circ,$$ al hacer $N\to\infty$, $\Delta V_i\to 0$ y por tanto $\epsilon_m\to 0$. En consecuencia se demuestra el resultado $\checkmark$ 

Extendiendo las definiciones de gradiente de un campo escalar y rotacional de un campo vectorial a volúmenes finitos, obtenemos los siguientes teoremas:

Teorema del gradiente. Si $\phi$ es un campo escalar continuo en $V_\circ$ limitado por una superficie cerrada $\partial V_\circ$, entonces $$\int_{V_\circ}\nabla\phi\,dV=\oint_{\partial\vec{V}_\circ}\phi\,d\vec{A}$$ Demostración. Sea $\phi\vec{a}$, donde $\vec{a}$ es un vector constante. Aplicando el teorema de divergencia $$\int_{V_\circ}\nabla\cdot(\phi\vec{a})\,dV=\oint_{\partial V_\circ}\phi\vec{a}\cdot d\vec{A}$$ puesto que $\nabla\cdot(\phi\vec{a})=\vec{a}\cdot\nabla\phi$ $$\vec{a}\cdot\left(\int_{V_\circ}\nabla\phi\,dV-\oint_{\partial V_\circ}\phi\,d\vec{A}\right)=0$$ Puesto que $\vec{a}\neq\vec{0}$, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. $\checkmark$

Teorema del rotacional Si $\vec{V}$ es un campo vectorial continuo en $V_\circ$ limitado por una superficie cerrada $\partial V_\circ$, entonces $$\int_{V_\circ}\nabla\times\vec{V}\,dV=\oint_{\partial\vec{V}_\circ}d\vec{A}\times\vec{V}$$ Demostración. Sea $\vec{V}\times\vec{a}$, donde $\vec{a}$ es un vector constante. Aplicando el teorema de divergencia $$\int_{V_\circ}\nabla\cdot\left(\vec{V}\times\vec{a}\right)\,dV=\oint_{\partial V_\circ}\left(\vec{V}\times\vec{a}\right)\cdot d\vec{A}$$ como $\nabla\cdot(\vec{V}\times\vec{a})=\vec{a}\cdot(\nabla\times\vec{V})$ y de la permutación del tiple producto escalar $\vec{V}\times\vec{a}\cdot d\vec{A}=\vec{a}\cdot d\vec{A}\times\vec{V}$ $$\vec{a}\cdot\left(\int_{V_\circ}\nabla\times\vec{V}\,dV-\oint_{\partial V_\circ}d\vec{A}\times\vec{V}\right)=0$$ De nuevo, puesto que $\vec{a}\neq\vec{0}$, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. $\checkmark$

Teoremas de Green
El primer teorema o identidad de Green establece que si $\phi$ y $\psi$ son funciones escalares que tienen segundas derivadas continuas en un volumen $V_\circ$ limitado por una superficie cerrada $\partial V_\circ$, entonces $$\int_{V_\circ}(\phi\nabla^2\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi)\,dV=\oint_{\partial V_\circ}\phi\,\nabla\psi\cdot d\vec{A}$$ El segundo teorema o identidad de Green establece: $$\int_{V_\circ}(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi)\,dV=\oint_{\partial V_\circ}(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot d\vec{A}$$ Demostración. La primera identidad se deriva de aplicar el teorema de divergencia a la expresión: $$\nabla\cdot\left(\phi\nabla\psi\right)=\phi\nabla^2\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi,$$ mientras que la segunda identidad se obtiene de la diferencia entre la primera identidad y del resultado de intercambiar $\phi$ y $\psi$ en dicha expresión.

El Tercer teorema o identidad de Green expresa que si $\vec{F}(\nabla\cdot\vec{V})$ y $\vec{F}\times(\nabla\times\vec{V})$ son campos vectoriales que tienen segundas derivadas continuas en un volumen $V_\circ$ limitado por una superficie cerrada $\partial V_\circ$, entonces $$\int_{V_\circ}\left(\vec{F}\cdot\nabla^2\vec{V}-\vec{V}\cdot\nabla^2\vec{F}\right)dV=\oint_{\partial V ̣\circ}\left(\vec{F}\times(\nabla\times\vec{V})+\vec{F}(\nabla\cdot\vec{V})-\vec{V}\times(\nabla\times\vec{F})-\vec{V}(\nabla\cdot\vec{F})\right)\cdot d\vec{A}$$ donde $$\nabla^2\vec{F}=\nabla(\nabla\cdot\vec{F})-\nabla\times(\nabla\times\vec{F})$$ Demostración. Este resultado es una consecuencia directa de aplicar el teorema de divergencia a las siguientes identidades: $$\begin{align}\nabla\cdot(\vec{F}(\nabla\cdot\vec{V}))&=(\nabla\cdot\vec{V})(\nabla\cdot\vec{F})+\vec{F}\cdot\nabla(\nabla\cdot\vec{V})\\\nabla\cdot(\vec{F}\times(\nabla\times\vec{V}))&=(\nabla\times\vec{V})\cdot(\nabla\times\vec{F})-\vec{F}\cdot\nabla\times(\nabla\times\vec{V})\end{align}$$ Note que este teorema es equivalente a la segunda identidad de Green que relaciona dos campos escalares.