Los teoremas que se presentan a continuación son de la forma$$\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)*\nu=\oint_{C}d\vec{r}*\nu$$donde $\nu$ es un escalar o cantidad vectorial y la estrella $*$ representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).
Teorema de Stokes. Este teorema establece que si $\vec{V}$ es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie $\partial V_\circ$ limitada por una curva cerrada simple $C$, entonces$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\vec{V}\cdot d\vec{A}=\oint_C\vec{V}\cdot d\vec{r}$$Demostración. Se divide la superficie $\partial V_\circ$ en $N$ subregiones con áreas $\Delta A_i$ con $i=1,2,\dots,N$. Se define el punto $(x_i,y_i,z_i)$ sobre cada $\Delta A_i$ y aplicando la definición del rotacional en su forma integral, tenemos: $$\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}=\frac{1}{\Delta A_i}\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\epsilon_i,\hspace{1cm}\text{donde}\quad\epsilon_i\to 0\quad\text{cuando}\quad \Delta A_i\to 0$$al multiplicar por $\Delta A_i$ se tiene:$$\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}\,\Delta A_i=\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\epsilon_i\,\Delta A_i.$$Realizando la suma de cada subregión$$\sum_{i=1}^{N}\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}\,\Delta A_i=\sum_{i=1}^{N}\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta A_i.$$Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores $d\vec{r}$ tienen direcciones opuestas. Así que solo queda la integral de línea a lo largo de $C$, es decir:
Teorema de Stokes. Este teorema establece que si $\vec{V}$ es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie $\partial V_\circ$ limitada por una curva cerrada simple $C$, entonces$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\vec{V}\cdot d\vec{A}=\oint_C\vec{V}\cdot d\vec{r}$$Demostración. Se divide la superficie $\partial V_\circ$ en $N$ subregiones con áreas $\Delta A_i$ con $i=1,2,\dots,N$. Se define el punto $(x_i,y_i,z_i)$ sobre cada $\Delta A_i$ y aplicando la definición del rotacional en su forma integral, tenemos: $$\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}=\frac{1}{\Delta A_i}\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\epsilon_i,\hspace{1cm}\text{donde}\quad\epsilon_i\to 0\quad\text{cuando}\quad \Delta A_i\to 0$$al multiplicar por $\Delta A_i$ se tiene:$$\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}\,\Delta A_i=\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\epsilon_i\,\Delta A_i.$$Realizando la suma de cada subregión$$\sum_{i=1}^{N}\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}\,\Delta A_i=\sum_{i=1}^{N}\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta A_i.$$Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores $d\vec{r}$ tienen direcciones opuestas. Así que solo queda la integral de línea a lo largo de $C$, es decir:
Fig 1. Subregiones de $\partial V_\circ$
$$\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\oint_{C_i}\vec{V}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}\vec{V}\cdot d\vec{r},$$además por definición de integral múltiple$$\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}\,\Delta A_i=\int_{\partial V_\circ}\vec{n}\cdot\nabla\times\vec{V}\,dA=\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\vec{V}\cdot d\vec{A}.$$Por tanto$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\vec{V}\cdot d\vec{A}=\oint_{C}\vec{V}\cdot d\vec{r}+\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta A_i.$$Para demostrar que el segundo término de la derecha se anula, definimos $\epsilon_m=\max\,\epsilon_i$ con el fin de acotar superiormente este término, en efecto;$$\left|\sum_{i=1}^{N}\epsilon_i\,\Delta A_i \right|\leq\sum_{i=1}^{N}\left|\epsilon_i\right|\Delta A_i\leq\left|\epsilon_m\right|\sum_{i=1}^{N}\Delta A_i=\left|\epsilon_m\right|A,$$al hacer $N\to\infty$, $\Delta A_i\to 0$ y por tanto $\epsilon_m\to 0$. En consecuencia se demuestra el resultado $\checkmark$
Puesto que$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\vec{V}\cdot d\vec{A}=\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}\cdot \nabla\times\vec{V}=\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)\cdot\vec{V},$$El teorema de Stokes puede expresarse como:$$\boxed{\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)\cdot\vec{V}=\oint_{C}d\vec{r}\cdot\vec{V}}$$Extendiendo las definiciones del rotacional, el gradiente y el rotacional del rotacional a superficies finitas, obtenemos los siguientes teoremas:
Teorema 1. Este teorema establece que si $\phi$ es un campo escalar con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie $\partial V_\circ$ limitada por una curva cerrada simple $C$, entonces$$\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}\times\nabla\phi=\oint_C\phi\,d\vec{r}$$Demostración. Sea $\phi\vec{a}$, donde $\vec{a}$ es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times(\phi\vec{a})\cdot d\vec{A}=\oint_C \phi\vec{a}\cdot d\vec{r}$$como $\nabla\times(\phi\vec{a})=\nabla\phi\times\vec{a}$ y de la permutación del triple producto escalar$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\phi\times\vec{a}\cdot d\vec{A}=\int_{\partial V_\circ}\vec{a}\cdot d\vec{A}\times\nabla\phi.$$Por consiguiente$$\vec{a}\cdot\left(\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}\times\nabla\phi -\oint_C\phi\,d\vec{r}\right)=0$$Puesto que $\vec{a}\neq\vec{0}$, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. $\checkmark$
Teorema 2. Este teorema establece que si $\vec{V}$ es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie $\partial V_\circ$ limitada por una curva cerrada simple $C$, entonces$$\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)\times\vec{V}=\oint_Cd\vec{r}\times\vec{V}$$Demostración. Sea $\vec{V}\times\vec{a}$, donde $\vec{a}$ es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times(\vec{V}\times\vec{a})\cdot d\vec{A}=\oint_C \left(\vec{V}\times\vec{a}\right)\cdot d\vec{r}$$como $\nabla\times(\vec{V}\times\vec{a})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{V}-\vec{a}(\nabla\cdot\vec{V})$\begin{align}\int_{\partial V_\circ}\nabla\times(\vec{V}\times\vec{a})\cdot d\vec{A}&=\int_{\partial V_\circ}\left[(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{V}\cdot d\vec{A}-\vec{a}\cdot d\vec{A}(\nabla\cdot\vec{V})\right]\\&=\vec{a}\cdot\int_{\partial V_\circ}\left[\nabla_{\vec{V}}(\vec{V}\cdot d\vec{A})-d\vec{A}(\nabla\cdot\vec{V})\right]\end{align}donde $\nabla_\vec{V}$ indica que $\nabla$ opera solamente sobre $\vec{V}$. Aplicando la regla del término medio para el triple producto vectorial tenemos:$$\left(d\vec{A}\times\nabla\right)\times\vec{V}=\nabla_{\vec{V}}(\vec{V}\cdot d\vec{A})-d\vec{A}(\nabla\cdot\vec{V})$$y de la permutación del triple producto escalar$$\int_C\left(\vec{V}\times\vec{a}\right)\cdot d\vec{r}=\int_C\vec{a}\cdot d\vec{r}\times\vec{V}.$$Por consiguiente$$\vec{a}\cdot\left(\int_{\partial V_\circ}\left(d\vec{A}\times\nabla\right)\times\vec{V}-\oint_Cd\vec{r}\times\vec{V}\right)=0$$Puesto que $\vec{a}\neq\vec{0}$, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. $\checkmark$
Puesto que$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times\vec{V}\cdot d\vec{A}=\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}\cdot \nabla\times\vec{V}=\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)\cdot\vec{V},$$El teorema de Stokes puede expresarse como:$$\boxed{\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)\cdot\vec{V}=\oint_{C}d\vec{r}\cdot\vec{V}}$$Extendiendo las definiciones del rotacional, el gradiente y el rotacional del rotacional a superficies finitas, obtenemos los siguientes teoremas:
Teorema 1. Este teorema establece que si $\phi$ es un campo escalar con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie $\partial V_\circ$ limitada por una curva cerrada simple $C$, entonces$$\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}\times\nabla\phi=\oint_C\phi\,d\vec{r}$$Demostración. Sea $\phi\vec{a}$, donde $\vec{a}$ es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times(\phi\vec{a})\cdot d\vec{A}=\oint_C \phi\vec{a}\cdot d\vec{r}$$como $\nabla\times(\phi\vec{a})=\nabla\phi\times\vec{a}$ y de la permutación del triple producto escalar$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\phi\times\vec{a}\cdot d\vec{A}=\int_{\partial V_\circ}\vec{a}\cdot d\vec{A}\times\nabla\phi.$$Por consiguiente$$\vec{a}\cdot\left(\int_{\partial V_\circ}d\vec{A}\times\nabla\phi -\oint_C\phi\,d\vec{r}\right)=0$$Puesto que $\vec{a}\neq\vec{0}$, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. $\checkmark$
Teorema 2. Este teorema establece que si $\vec{V}$ es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie $\partial V_\circ$ limitada por una curva cerrada simple $C$, entonces$$\int_{\partial V_\circ}(d\vec{A}\times\nabla)\times\vec{V}=\oint_Cd\vec{r}\times\vec{V}$$Demostración. Sea $\vec{V}\times\vec{a}$, donde $\vec{a}$ es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes$$\int_{\partial V_\circ}\nabla\times(\vec{V}\times\vec{a})\cdot d\vec{A}=\oint_C \left(\vec{V}\times\vec{a}\right)\cdot d\vec{r}$$como $\nabla\times(\vec{V}\times\vec{a})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{V}-\vec{a}(\nabla\cdot\vec{V})$\begin{align}\int_{\partial V_\circ}\nabla\times(\vec{V}\times\vec{a})\cdot d\vec{A}&=\int_{\partial V_\circ}\left[(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{V}\cdot d\vec{A}-\vec{a}\cdot d\vec{A}(\nabla\cdot\vec{V})\right]\\&=\vec{a}\cdot\int_{\partial V_\circ}\left[\nabla_{\vec{V}}(\vec{V}\cdot d\vec{A})-d\vec{A}(\nabla\cdot\vec{V})\right]\end{align}donde $\nabla_\vec{V}$ indica que $\nabla$ opera solamente sobre $\vec{V}$. Aplicando la regla del término medio para el triple producto vectorial tenemos:$$\left(d\vec{A}\times\nabla\right)\times\vec{V}=\nabla_{\vec{V}}(\vec{V}\cdot d\vec{A})-d\vec{A}(\nabla\cdot\vec{V})$$y de la permutación del triple producto escalar$$\int_C\left(\vec{V}\times\vec{a}\right)\cdot d\vec{r}=\int_C\vec{a}\cdot d\vec{r}\times\vec{V}.$$Por consiguiente$$\vec{a}\cdot\left(\int_{\partial V_\circ}\left(d\vec{A}\times\nabla\right)\times\vec{V}-\oint_Cd\vec{r}\times\vec{V}\right)=0$$Puesto que $\vec{a}\neq\vec{0}$, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. $\checkmark$
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