Teoremas de integración II: de superficie a desplazamiento

Los teoremas que se presentan a continuación son de la formaV(dA×)ν=CdrνV(dA×)ν=Cdrνdonde νν es un escalar o cantidad vectorial y la estrella representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).

Teorema de Stokes.
Este teorema establece que si VV es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie VV limitada por una curva cerrada simple CC,  entoncesV×VdA=CVdrV×VdA=CVdrDemostración. Se divide la superficie VV en NN subregiones con áreas ΔAiΔAi con i=1,2,,Ni=1,2,,N. Se define el punto (xi,yi,zi)(xi,yi,zi) sobre cada ΔAiΔAi y aplicando la definición del rotacional en su forma integral, tenemos: n×V=1ΔAiCiVdr+ϵi,dondeϵi0cuandoΔAi0n×V=1ΔAiCiVdr+ϵi,dondeϵi0cuandoΔAi0al multiplicar por ΔAiΔAi se tiene:n×VΔAi=CiVdr+ϵiΔAi.n×VΔAi=CiVdr+ϵiΔAi.Realizando la suma de cada subregiónNi=1n×VΔAi=Ni=1CiVdr+Ni=1ϵiΔAi.Ni=1n×VΔAi=Ni=1CiVdr+Ni=1ϵiΔAi.Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores dr tienen direcciones opuestas. Así que solo queda la integral de línea a lo largo de C, es decir:

Fig 1. Subregiones de V
limNNi=1CiVdr=CVdr,además por definición de integral múltiplelimNNi=1n×VΔAi=Vn×VdA=V×VdA.Por tantoV×VdA=CVdr+limNNi=1ϵiΔAi.Para demostrar que el segundo término de la derecha se anula, definimos ϵm=maxϵi con el fin de acotar superiormente este término, en efecto;|Ni=1ϵiΔAi|Ni=1|ϵi|ΔAi|ϵm|Ni=1ΔAi=|ϵm|A,al hacer N, ΔAi0 y por tanto ϵm0. En consecuencia se demuestra el resultado

Puesto queV×VdA=VdA×V=V(dA×)V,El teorema de Stokes puede expresarse como:V(dA×)V=CdrVExtendiendo las definiciones del rotacional, el gradiente y el rotacional del rotacional a superficies finitas, obtenemos los siguientes teoremas:

Teorema 1. Este teorema establece que si ϕ es un campo escalar con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie V limitada por una curva cerrada simple C, entoncesVdA×ϕ=CϕdrDemostración. Sea ϕa, donde a es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de StokesV×(ϕa)dA=Cϕadrcomo ×(ϕa)=ϕ×a y de la permutación del triple producto escalarVϕ×adA=VadA×ϕ.Por consiguientea(VdA×ϕCϕdr)=0Puesto que a0, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente.

Teorema 2.
Este teorema establece que si V es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie V limitada por una curva cerrada simple C, entoncesV(dA×)×V=Cdr×VDemostración. Sea V×a, donde a es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de StokesV×(V×a)dA=C(V×a)drcomo ×(V×a)=(a)Va(V)V×(V×a)dA=V[(a)VdAadA(V)]=aV[V(VdA)dA(V)]donde V indica que opera solamente sobre V. Aplicando la regla del término medio para el triple producto vectorial tenemos:(dA×)×V=V(VdA)dA(V)y de la permutación del triple producto escalarC(V×a)dr=Cadr×V.Por consiguientea(V(dA×)×VCdr×V)=0Puesto que a0, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente.

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