Los teoremas que se presentan a continuación son de la forma∫∂V∘(d→A×∇)∗ν=∮Cd→r∗νdonde ν es un escalar o cantidad vectorial y la estrella ∗ representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).
Teorema de Stokes. Este teorema establece que si →V es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie ∂V∘ limitada por una curva cerrada simple C, entonces∫∂V∘∇×→V⋅d→A=∮C→V⋅d→rDemostración. Se divide la superficie ∂V∘ en N subregiones con áreas ΔAi con i=1,2,…,N. Se define el punto (xi,yi,zi) sobre cada ΔAi y aplicando la definición del rotacional en su forma integral, tenemos: →n⋅∇×→V=1ΔAi∮Ci→V⋅d→r+ϵi,dondeϵi→0cuandoΔAi→0al multiplicar por ΔAi se tiene:→n⋅∇×→VΔAi=∮Ci→V⋅d→r+ϵiΔAi.Realizando la suma de cada subregiónN∑i=1→n⋅∇×→VΔAi=N∑i=1∮Ci→V⋅d→r+N∑i=1ϵiΔAi.Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores d→r tienen direcciones opuestas. Así que solo queda la integral de línea a lo largo de C, es decir:
Teorema de Stokes. Este teorema establece que si →V es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie ∂V∘ limitada por una curva cerrada simple C, entonces∫∂V∘∇×→V⋅d→A=∮C→V⋅d→rDemostración. Se divide la superficie ∂V∘ en N subregiones con áreas ΔAi con i=1,2,…,N. Se define el punto (xi,yi,zi) sobre cada ΔAi y aplicando la definición del rotacional en su forma integral, tenemos: →n⋅∇×→V=1ΔAi∮Ci→V⋅d→r+ϵi,dondeϵi→0cuandoΔAi→0al multiplicar por ΔAi se tiene:→n⋅∇×→VΔAi=∮Ci→V⋅d→r+ϵiΔAi.Realizando la suma de cada subregiónN∑i=1→n⋅∇×→VΔAi=N∑i=1∮Ci→V⋅d→r+N∑i=1ϵiΔAi.Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores d→r tienen direcciones opuestas. Así que solo queda la integral de línea a lo largo de C, es decir:
Fig 1. Subregiones de ∂V∘
limN→∞N∑i=1∮Ci→V⋅d→r=∮C→V⋅d→r,además por definición de integral múltiplelimN→∞N∑i=1→n⋅∇×→VΔAi=∫∂V∘→n⋅∇×→VdA=∫∂V∘∇×→V⋅d→A.Por tanto∫∂V∘∇×→V⋅d→A=∮C→V⋅d→r+limN→∞N∑i=1ϵiΔAi.Para demostrar que el segundo término de la derecha se anula, definimos ϵm=maxϵi con el fin de acotar superiormente este término, en efecto;|N∑i=1ϵiΔAi|≤N∑i=1|ϵi|ΔAi≤|ϵm|N∑i=1ΔAi=|ϵm|A,al hacer N→∞, ΔAi→0 y por tanto ϵm→0. En consecuencia se demuestra el resultado ✓
Puesto que∫∂V∘∇×→V⋅d→A=∫∂V∘d→A⋅∇×→V=∫∂V∘(d→A×∇)⋅→V,El teorema de Stokes puede expresarse como:∫∂V∘(d→A×∇)⋅→V=∮Cd→r⋅→VExtendiendo las definiciones del rotacional, el gradiente y el rotacional del rotacional a superficies finitas, obtenemos los siguientes teoremas:
Teorema 1. Este teorema establece que si ϕ es un campo escalar con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie ∂V∘ limitada por una curva cerrada simple C, entonces∫∂V∘d→A×∇ϕ=∮Cϕd→rDemostración. Sea ϕ→a, donde →a es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes∫∂V∘∇×(ϕ→a)⋅d→A=∮Cϕ→a⋅d→rcomo ∇×(ϕ→a)=∇ϕ×→a y de la permutación del triple producto escalar∫∂V∘∇ϕ×→a⋅d→A=∫∂V∘→a⋅d→A×∇ϕ.Por consiguiente→a⋅(∫∂V∘d→A×∇ϕ−∮Cϕd→r)=0Puesto que →a≠→0, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. ✓
Teorema 2. Este teorema establece que si →V es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie ∂V∘ limitada por una curva cerrada simple C, entonces∫∂V∘(d→A×∇)×→V=∮Cd→r×→VDemostración. Sea →V×→a, donde →a es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes∫∂V∘∇×(→V×→a)⋅d→A=∮C(→V×→a)⋅d→rcomo ∇×(→V×→a)=(→a⋅∇)→V−→a(∇⋅→V)∫∂V∘∇×(→V×→a)⋅d→A=∫∂V∘[(→a⋅∇)→V⋅d→A−→a⋅d→A(∇⋅→V)]=→a⋅∫∂V∘[∇→V(→V⋅d→A)−d→A(∇⋅→V)]donde ∇→V indica que ∇ opera solamente sobre →V. Aplicando la regla del término medio para el triple producto vectorial tenemos:(d→A×∇)×→V=∇→V(→V⋅d→A)−d→A(∇⋅→V)y de la permutación del triple producto escalar∫C(→V×→a)⋅d→r=∫C→a⋅d→r×→V.Por consiguiente→a⋅(∫∂V∘(d→A×∇)×→V−∮Cd→r×→V)=0Puesto que →a≠→0, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. ✓
Puesto que∫∂V∘∇×→V⋅d→A=∫∂V∘d→A⋅∇×→V=∫∂V∘(d→A×∇)⋅→V,El teorema de Stokes puede expresarse como:∫∂V∘(d→A×∇)⋅→V=∮Cd→r⋅→VExtendiendo las definiciones del rotacional, el gradiente y el rotacional del rotacional a superficies finitas, obtenemos los siguientes teoremas:
Teorema 1. Este teorema establece que si ϕ es un campo escalar con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie ∂V∘ limitada por una curva cerrada simple C, entonces∫∂V∘d→A×∇ϕ=∮Cϕd→rDemostración. Sea ϕ→a, donde →a es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes∫∂V∘∇×(ϕ→a)⋅d→A=∮Cϕ→a⋅d→rcomo ∇×(ϕ→a)=∇ϕ×→a y de la permutación del triple producto escalar∫∂V∘∇ϕ×→a⋅d→A=∫∂V∘→a⋅d→A×∇ϕ.Por consiguiente→a⋅(∫∂V∘d→A×∇ϕ−∮Cϕd→r)=0Puesto que →a≠→0, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. ✓
Teorema 2. Este teorema establece que si →V es un campo vectorial con primeras derivadas parciales continuas sobre una superficie ∂V∘ limitada por una curva cerrada simple C, entonces∫∂V∘(d→A×∇)×→V=∮Cd→r×→VDemostración. Sea →V×→a, donde →a es cualquier vector constante. Aplicando el teorema de Stokes∫∂V∘∇×(→V×→a)⋅d→A=∮C(→V×→a)⋅d→rcomo ∇×(→V×→a)=(→a⋅∇)→V−→a(∇⋅→V)∫∂V∘∇×(→V×→a)⋅d→A=∫∂V∘[(→a⋅∇)→V⋅d→A−→a⋅d→A(∇⋅→V)]=→a⋅∫∂V∘[∇→V(→V⋅d→A)−d→A(∇⋅→V)]donde ∇→V indica que ∇ opera solamente sobre →V. Aplicando la regla del término medio para el triple producto vectorial tenemos:(d→A×∇)×→V=∇→V(→V⋅d→A)−d→A(∇⋅→V)y de la permutación del triple producto escalar∫C(→V×→a)⋅d→r=∫C→a⋅d→r×→V.Por consiguiente→a⋅(∫∂V∘(d→A×∇)×→V−∮Cd→r×→V)=0Puesto que →a≠→0, la expresión del paréntesis se anula y resultado en evidente. ✓
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