Sistema octal

Si la humanidad tuviese cuatro dedos en las manos, muy seguramente tendríamos un sistema numérico diferente, el cual consiste en definir la decena con un paquete de 8 unidades como lo muestra las manos de Mickey Mouse. Tal sistema se denomina octal o base ocho.

Fig. 1. Manos de Mickey Mouse.

Por tanto, los números del sistema octal son los siguientes:

 

1     2     3     4     5     6     7   10 11   12   13   14   15   16   17   20 21   22   23   24   25   26   27   30 31   32   33   34   35   36   37   40 41   42   43   44   45   46   47   50 51   52   53   54   55   56   57   60 61   62   63   64   65   66   67   70  71   72   73   74   75   76   77  100

Tabla 1. Números del sistema octal.

y las tablas de multiplicar en este sistemas son:

x	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

Tabla 2. Tablas de multiplicar en el sistema octal.

Nótese que en las tablas de multiplicar, no es necesaria la tabla del 8 ni la del 9 puesto que estos números no existen en el sistema octal, ya que 8 como ya hemos dicho representa una decena, es decir el 10 y como $$9=8+1\quad \text{en nuestra base}$$ tendríamos entonces que 9 es igual a 11 en el sistema octal y denotaríamos a esta conversión por $$9=(11)_8$$ en otras palabra, 9 está conformado por una decena y una unidad en el sistema octal.

La Multiplicación. El método de la multiplicación china, el cual hemos examinado previamente para realizar multiplicaciones, también es aplicable en este sistema. Para ilustrarlo, consideremos el siguiente ejemplo: al multiplicar $3726$ por $254$, obtenemos 1.241.710. En efecto:

3	7	2	6	$\times$
6	16	4	14	2
17	43	12	36	5
14	34	10	30	4

Sumando las diagonales, se tiene: $$6,\quad16+17=35,\quad 4+43+14=63,\quad 14+12+34=62,\quad 36+10=46,\quad 30.$$ Finalmente, bajando la primera unidad de la ultima diagonal y sumando en puente de manera sucesiva las decenas con las unidades del resultado de la suma de la siguiente diagonal, se llega a: $$6\quad 35\quad 63\quad 62\quad 46\quad 30$$ $$(6+3)(5+6)(3+6)(2+4)(6+3)0=1.241.710$$ Se recomienda ver el siguiente video.

Video 1. Multiplicación en el sistema octal.

La División. Como es natural también podemos dividir en este sistema, veamos algunos ejemplos: $$\begin{align*}2\,&5\,6\,4\quad|\underline{5\hspace{2cm}}\hspace{4cm}2\,5\,6\,4\quad|\underline{12\hspace{2cm}}\\&1\,6\hspace{1.2cm}4\,2\,7\hspace{5.6cm}1\,6\hspace{1.2cm}2\,1\,3\\&\hspace{0.45cm}4\,4\hspace{7.9cm}4\,4\\&\hspace{0.85cm}1\hspace{8.35cm}6\end{align*}$$ $$\begin{align*}3\,&7\,6\,2\quad|\underline{7\hspace{2cm}}\hspace{4cm}\overline{3\,7\,6}\,2\quad|\underline{72\hspace{2cm}}\\&3\,6\hspace{1.2cm}4\,4\,2\hspace{5.6cm}2\,6\,2\hspace{0.8cm}4\,3\\&\hspace{0.45cm}2\,2\hspace{8.3cm}4\\&\hspace{0.85cm}4\end{align*}$$ Se recomienda ver el siguiente video.

Video 2. División en el sistema octal.

El cambio de base. Para convertir un número octal al sistema decimal, se debe seguir los siguientes pasos:

• Escribir el número octal.
• Asignar un valor a cada dígito del número octal, comenzando desde la derecha y moviéndose hacia la izquierda. El valor asignado al dígito más a la derecha es $1$, al siguiente es $8$, luego $8^2=64$, $8^3=512$, y así sucesivamente, multiplicando por 8 cada vez.
• Multiplicar cada dígito por su valor correspondiente y se suma los resultados.

Por ejemplo, para convertir el número octal 137 al sistema decimal: Escribimos el número octal: 137. Asignamos valores: El primer dígito (7) tiene un valor de 1, el segundo dígito (3) tiene un valor de 8, y el tercer dígito (1) tiene un valor de 64. Multiplicamos y sumamos: $$(1\times64)+(3\times 8)+(7\times 1)=64+24+7=95.$$ Por lo tanto, el número octal 137 es igual a 95 en el sistema decimal o en forma compacta $(137)_8\equiv 95$. Veamos otros ejemplos en la siguiente tabla:

N. Octal	512	64	8	1	Forma decimal
3654	3	6	5	4	$1536+384+40+4=1964$
7526	7	5	2	6	$3584+320+16+6=3926$
2024	2	0	2	4	$1536+0+16+4=1556$

Tabla 3. De base octal a decimal.

Se recomienda ver el siguiente video.

Video 3. Transformando un número octal al sistema decimal.

Para convertir un número decimal al sistema octal, se debe seguir los siguientes pasos:

• Dividir el número decimal entre 8.
• Anotar el residuo de la división como el dígito más a la derecha del número octal.
• Dividir el cociente obtenido en el paso anterior entre 8.
• Anotar el nuevo residuo como el siguiente dígito del número octal, a la izquierda del anterior.
• Continué dividiendo el cociente obtenido en el paso anterior entre 8 y anotando los residuos como dígitos del número octal, de derecha a izquierda, hasta que el cociente sea 0.
  

Por ejemplo, para convertir 95 se hace lo siguiente: $$\begin{array}{l|c}\text{Divisiones} & \text{Residuos}\\ \hline 95 \div 8 = 11 & 7 \\ 11 \div 8 = 1 &  3 \\ 1 \div 8 = 0 & 1\end{array}$$ Por tanto, $95$ se convierte en el número octal $137$. Se recomienda ver el siguiente video.

Video 4. Transformando un número decimal al sistema octal.

Taller.

1. Realice las siguientes multiplicaciones en el sistema octal:

• $1325\times 724$
• $7342\times 756$
• $3617\times 524$
• $1723\times 524$

2. Realice las siguientes divisiones en el sistema octal:

• $17325\div 7$
• $75416\div 5$
• $17325\div 53$
• $75416\div 74$
  

3. Convierta los siguientes números del sistema decimal a números del sistema octal

• 976
• 859
• 1387
• 2948

4. Convierta los siguientes números del sistema octal a números del sistema decimal

• 1720
• 1533
• 2553
• 5604

Es importante tener en cuenta que en el sistema octal, los números no incluyen los dígitos 8 ni 9, ya que estos no forman parte de su representación.