Radicación

La radicación es una operación matemática inversa a la potenciación. Consiste en encontrar un número que, elevado a un índice dado, resulte en el valor original llamado radicando.

Notación: La radicación se representa con el símbolo $\sqrt[n]{a}$, donde:

• Índice $n$: Indica el tipo de raíz (por ejemplo, 2 para raíz cuadrada, 3 para raíz cúbica).
• Radicando $a$: El número del cual se extrae la raíz.
• Raíz: El resultado de la operación. 

Ejemplos de radicación

• Raíz cuadrada: $\sqrt{25} = 5$, porque $5^2 = 25$.
• Raíz cúbica: $\sqrt[3]{27} = 3$, porque $3^3 = 27$.
• Raíz cuarta: $\sqrt[4]{16} = 2$, porque $2^4 = 16$.

Propiedades:

1. La raíz de un producto, es producto de las raíces: $$\sqrt[n]{a\cdot b} = \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$$
2. La raíz de un cociente, es cociente de las raíces: $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$
3. La raíz de una raíz: $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$$
4. La raíz de una potencia, es potencia de la raíz: $$\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$Tenga en cuenta que la radicación no es distributiva respecto a la suma o resta: $$\sqrt{9+16}\neq\sqrt{9}+\sqrt{16}$$

Jerarquía en las operaciones:

1. Primero se resuelven las operaciones dentro de paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.
2. Luego se calculan las potencias $a^n$ y raíces $\sqrt[n]{b}$.
3. Después se realizan las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
4. Finalmente, se efectúan las sumas y restas, también en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

Ejemplos:

• Efectuar $\left(\sqrt{16}\times 2^3\right)+20\div4-\sqrt{9}$\begin{align}&\left(\sqrt{16}\times 2^3\right)+20\div4-\sqrt{9}\\&4\times 8+20\div4-3\\&32+5-3=34\end{align}
• Efectuar paso a paso lo siguiente: $$\sqrt{36} \times 2^2 + 20 \div 4 - \sqrt{16} \times \sqrt[3]{27} + \sqrt{9^3} - \sqrt[4]{16}$$ 1. Resolviendo las raíces y potencias:$$\sqrt{36} = 6, \quad 2^2 = 4, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \sqrt[3]{27} = 3, \quad \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3=27, \quad \sqrt[4]{16} = 2.$$2. Sustituye los valores en la expresión original y efectuando las operaciones:\begin{align}&6 \times 4 + 20 \div 4 - 4 \times 3 + 27 - 2\\&24 + 5 - 12 + 27 - 2=42\end{align}

Ejercicios.

• $\sqrt{25} \times 2^3 + 10 \div 2 - \sqrt{9} \times \sqrt[3]{8} + \left(\sqrt{16}\right)^2 - \sqrt[4]{81}=$ 52
• $\sqrt{25} \times \left(2^3 + 10 \div 2\right) - \sqrt{9} \times \sqrt[3]{8}=$ 59
  
• $\sqrt{49} \times 3^2 + 15 \div 3 - \sqrt{36} \times \sqrt[3]{64} + \left(\sqrt{25}\right)^2 - \sqrt[4]{16}=$ 67
  
• $\left[\sqrt{49}\times\left(3^2+15\div 3\right)\right]-\sqrt{36} \times \sqrt[3]{64}=$  74
  
• $\sqrt{100} \times 2^5 + 30 \div 5 - \sqrt{49} \times \sqrt[3]{216} + \left(\sqrt{64}\right)^2 - \sqrt[4]{81}=$ 345
• $\left[\sqrt{16} \times \left(2^3 \times 10 \div 5\right)\right] \div \left(\sqrt{4} \times \sqrt[3]{8}\right)=$ 16
  
• $\sqrt{169} \times 2^3 + 60 \div 6 - \sqrt{100} \times \sqrt[3]{729} + \left(\sqrt{49}\right)^2 - \sqrt[4]{4096}=$ 65
• $\sqrt{4^2 + 3^2} + 4 \times 3 - 18 \div 2 + (6 - 2) \times 2=$ 16