Los ingredientes brutos de la teoría de probabilidades se denominan resultados y sucesos. La imagen es la de llevar a cabo repetidamente cierto experimento, o ensayo: Lanzar una moneda, por ejemplo, o hacer rodar un dado. El experimento tiene varios posibles resultados. En el caso de la moneda, los dos resultados son cara y sello. En el caso del dado, los resultados son; $\{⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅\}$.
Los sucesos son más complicados: Cuando usted echa a rodar un dado, los sucesos son cosas como ⚅, ⚁, un número par, un número impar diferente de 3 y así sucesivamente. Los sucesos no son resultados individuales, sino una lista de resultados. Por supuesto, dicha lista puede contener sólo un caso, de modo que usted puede considerar cualquier resultado dado como un suceso en sí mismo.
A nuestros efectos, las matemáticas de las probabilidades se reduce a lo siguiente: La probabilidad de un suceso es el número de formas en que puede suceder dividido por el número total de resultados posibles.
Por ejemplo, consideremos un dado bueno, El número total de resultados es seis, todos igualmente probables porque estamos suponiendo que el dado es bueno. El suceso un número par puede suceder de tres forma: $\{⚁, ⚃, ⚅ \}$. De modo que la probabilidad de sacar un número para es $3/6$, que es igual a $1/2$. El suceso un número impar diferente de tres puede suceder de dos formas: sacando ⚀ o ⚄. De modo que su probabilidad es $2/6$, o $1/3$. Desde este punto de vista las probabilidades se reducen a contar cosas.
Hay un método más sofisticado para problemas donde contar cosas no funciona, como la probabilidad de que le caiga encima un meteorito, pero eso cae bajo la definición abstracta de la probabilidad, y eso nos apartaría demasiado de nuestro camino.
Para simplificar, abreviemos la probabilidad de un suceso $E$ por \begin{align}P(E).\end{align} Por ejemplo, en lugar de decir que la probabilidad de sacar ⚅ con un dado bueno es $1/6$, podemos escribir: \begin{align}P(⚅)=\frac{1}{6}\end{align} Utilizando esta notación, expresaré ahora algunas leyes básicas de la probabilidad.
Hay dos sucesos extremos. Si $E$ es el suceso (sucede cualquiera de los resultados posibles), entonces \begin{align}P(E)=1\end{align} y $E$ es cierto. Si $E$ es el suceso (no sucede ninguno de los resultado posibles), entonces \begin{align}P(E)=0\end{align} y $E$ es imposible. Es decir, para un suceso cualquiera $E$ que no sea un extremo debe cumplir la siguiente desigualdad: \begin{align}0\leq P(E)\leq 1.\end{align}
Reglas de la probabilidad. Lo mas importante que usted tiene que saber de las probabilidades es cómo combinar las probabilidades de sucesos simples para obtener las probabilidades de sucesos complicados. Hay tres operaciones principales de este tipo:
- Regla No \begin{align}P(no\,\, E)=1-P(E). \end{align}
- Regla O Para sucesos que no se solapan\begin{align}P(E\, o\, F)=P(E) + P(F),\end{align} y para sucesos con solapamientos$$P(E\, o\, F)=P(E) + P(F)-P(E\cap F)$$
- Regla Y \begin{align}P(E\, y\, F)=P(E)\times P(F) \end{align} para sucesos independientes.
Ilustración de las reglas.
Para entender la regla No consideremos un lanzamiento de un dado justo, con la siguiente pregunta ¿cuál es la probabilidad de no sacar un puntaje de ⚅? en nuestra notación $P(\text{no}\, ⚅)$. Bien, hay seis resultados. Cinco de ellos son "No ⚅", a saber; $\{⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄\}$. De modo que $P(\text{no}\, ⚅)=5/6$. Ahora bien, hay una forma más rápida de ver que ésta es la respuesta. Hay exactamente un resultado que lleva a ⚅ a saber, el propio ⚅. De modo que el número de resultados que llevan a No ⚅ debe ser $6-1=5$. No necesitamos hacer la lista de ellos para verlo. La probabilidad de "No 6" es por consiguiente $(6-1)/6$, que podemos escribir como $1-1/6$ y este, es justo el resultado que se tiene de aplicar la regla.
Ahora, para la regla O consideremos el suceso: el resultado de arrojar el dado es un número par o un número impar diferentes de tres. Aquí tenemos dos sucesos: \begin{align}E&= \text{Número par} \\ F&=\text{Número impar diferente de tres.}\end{align} El suceso $E$ puede suceder de tres formas: $\{ ⚁, ⚃, ⚅\}$. El suceso $F$ puede suceder de dos formas: $\{⚀, ⚄\}$. De modo que $E$ o $F$ pueden suceder de cinco formas: $\{⚀, ⚁, ⚃, ⚄, ⚅\}$. Tenemos que: \begin{align}P(E)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ P(F)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\P(E\,o\,F)&=\frac{5}{6}\end{align}Así que \begin{align}P(E\,o\,F)=P(E)+P(F)\end{align} ¿Es esto una coincidencia o hay aquí una regla general? Bien, obtenemos $E$ o $F$ juntando las dos listas para $E$ y $F$ por separado; de modo que, por supuesto, el número de resultados en $E$ o en $F$ es la suma de los resultados en los dos sucesos. Que pasaría con esto: \begin{align}E&= \text{número par}\\ F&=\text{múltiplo de 3}.\end{align} Entonces $E$ contiene los resultados $\{⚁, ⚃, ⚅\}$ y \begin{align}P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\end{align} por otro lado $F$ contiene los resultados $\{⚂, ⚅\}$, de modo que \begin{align}P(F)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\end{align} una vez más. Pero esta vez $E$ o $F$ contienen sólo cuatro resultados: $\{⚁, ⚂, ⚃, ⚅\}$. ¿Por qué no cinco? Porque un resultado, en este caso ⚅, está incluido en ambas listas. En general, el número de casos en la lista combinada es sólo la suma de los números de casos en cada lista componente si las dos listas no se solapan.
La regla final de las probabilidades se aplica cuando realizamos dos experimentos uno detrás de otro, y queremos saber la probabilidad de que ocurra un suceso $E$ en el primer ensayo y que ocurra un suceso $F$ en el segundo. Por ejemplo, podríamos tirar un dado y luego lanzar una moneda. Supongamos que $E$ es el suceso número par y $F$ es cara. Entonces $E$ y $F$ es el suceso un número par en el dado y cara en la moneda, Ya sabemos que \begin{align} P(E)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\P(F)&=\frac{1}{2}\end{align}Pero ¿qué es $P(E\,y\,F)$? para responder esta pregunta hagamos una lista de posibilidades:
| Posibilidades para el ensayo doble | ||
| Dado | Moneda | E y F |
| ⚀ | C | |
| ⚁ | C | sí |
| ⚂ | C | |
| ⚃ | C | sí |
| ⚄ | C | |
| ⚅ | C | sí |
| ⚀ | S | |
| ⚁ | S | |
| ⚂ | S | |
| ⚃ | S | |
| ⚄ | S | |
| ⚅ | S | |
Tabla 1.
Hay doce resultados en total: $6\times 2$, el producto del número de resultados para el primer ensayo y el número de resultados para el segundo. Sólo tres de ellos, marcados sí en la tercera columna, dan un suceso combinado de $E$ y $F$. De modo que aquí tenemos: \begin{align}P(E\,y\,F)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\end{align}Evidentemente, \begin{align}P(E\,y\,F)=P(E)\times P(F)\end{align} en este caso. La regla Y en general es valida para cualesquiera dos sucesos representados en las dos primeras filas de la tabla con tal de que el segundo ensayo sea independiente del primero, lo que significa que el resultado del primer ensayo no altera al del segundo. (La moneda no sabe lo que hizo el dado).
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Tomado y adaptado del libro: El Laberinto Mágico, IAN STEWART. Editorial booket pags. 89-100.
Ejemplos 1. En la Universidad de Duke, dos estudiantes habían obtenido sobresaliente en química todo el semestre. Pero una noche antes del examen final, estaban de fiesta en otro estado y volvieron a Duke cuando el examen ya había terminado. Su excusa para el profesor fue que tuvieron un reventón, y preguntaron si podían hacer un examen de recuperación. El profesor estuvo de acuerdo, escribió un examen y los puso en salones separados para hacerlo. La primera pregunta en una cara de la hoja valía cinco punto. Entonces dieron la vuelta a la hoja y encontraron la segunda pregunta, que valía 95 puntos: ¿Qué neumático era? ¿Qué probabilidad había de que ambos estudiantes dijeran lo mismo?
Solución Hay cuatro neumáticos en el coche, de modo que, suponiendo que DD significa "derecha delante", etc., existen 16 combinaciones posibles de respuestas de los dos estudiantes, vease la tabla 2.
| Posibles respuestas de los estudiantes | ||||
| DD | ID | DT | IT | |
| DD | (DD - DD) | (DD - ID) | (DD - DT) | (DD - IT) |
| ID | (ID - DD) | (ID - ID) | (ID - DT) | (ID - IT) |
| DT | (DT - DD) | (DT - ID) | (DT - DT) | (DT - IT) |
| IT | (IT - DD) | (IT - ID) | (IT - DT) | (IT - IT) |
Tabla 2.
Por lo tanto, las posibilidades son de 4 entre 16 o de 1 entre 4.
Ejemplos 2. Se extraen dos balotas con reemplazamiento de una urna que contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se pide la probabilidad de:
- Tener dos balotas verdes.
- Tener la primera balota verde y la segunda roja.
- Tener la primera balota roja y la segunda verde.
- Tener dos balotas rojas.
Solución. Para este tipo de problemas resulta muy útil construir un diagrama de árbol que nos represente todas las posibilidades, tal como se muestra a continuación:
Fig. 1 Diagrama de árbol
Note que la probabilidad de sacar dos balotas rojas según la regla Y, es: $$P(RR)=P(R)P(R)=\frac{5}{13}\times\frac{5}{13}=\frac{25}{169}$$ de igual manera, para dos balotas verdes $$P(VV)=P(V)P(V)=\frac{8}{13}\times\frac{8}{13}=\frac{64}{169}$$
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