Probabilidad condicional

Para introducir el concepto de probabilidad condicional, veamos el siguiente problema. El señor y la señora Urbino le dicen al publico que tienen dos hijos, y que uno de ellos es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro hijo sea también una niña? Supongamos el caso ideal que los niños y las niñas son igualmente probables, cada una de ellos con una probabilidad de $\frac{1}{2}$ y cuando la familia Urbino se refiera a hijos lo hacen en sentido neutro sin comprometer el genero del otro al cual no se le conoce el sexo.

La respuesta instantánea de la mayoría de las personas es que el otro hijo es o un niño o una niña, y cada uno de estos eventos es igualmente probable, de modo que hay una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de que ambos sean niñas. Pues bien, esto no es cierto.

Pensemos en ello, en lugar de confiar en nuestra intuición altamente cuestionable. Hay cuatro posibles distribuciones de sexos: \begin{align}(OO, OA, AO, AA)\end{align} donde $O$ y $A$ denotan niño y niña respectivamente y el orden es en el que han nacido los hijos. Cada combinación es igulamente probable, y por consiguiente tiene una probabilidad de $\frac{1}{4}$ por la regla $Y$. 

Por otro lado, en exactamente tres casos equiprobables, \begin{align}(OA, AO, AA)\end{align} la familia incluye al menos una niña. De modo que son tres los resultados posibles del ensayo tener dos hijos, todos ellos igualmente probables. Note que en sólo uno de dichos ensayos, $AA$ el otro hijo es también una niña. De modo que el suceso de tener dos niñas es uno entre tres. En otras palabras, la probabilidad de que la familia Urbino tengan dos niñas, dado que hay al menos una niña, es $\frac{1}{3}$.

De esta manera es como se calculan las probabilidades condicionales, probabilidades de un cierto suceso dado que ha ocurrido otro suceso. Se hace una lista de todos los sucesos y de sus probabilidades, se eliminan aquellas en los que el suceso condicional no ocurre, se mira lo que queda, y se hace el recuento en consecuencia. Este tipo de análisis se conoce como razonamiento bayesiano. Sean $A$ y $B$ sucesos con probabilidades $P(A)$ y $P(B)$ respectivamente. Escribimos $$P(A|B)$$ para la probabilidad de que suceda $A$, dado que $B$ ha ocurrido inevitablemente, para calcularla es necesario conocer la probabilidad de que ocurra simultáneamente los sucesos $A$ y $B$, es decir, $P(A\cap B)$ y dividirla por la probabilidad de que ocurra $B$, en consecuencia; $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ Por ejemplo, en el caso de los hijos de los Urbino, tenemos\begin{align}B&=\text{Al menos uno de los hijos es una niña}\\A&=\text{El otro hijo es una niña}\end{align}de modo que $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$$ El valor al cual llegamos antes.

Ejemplo 1. El 75% de los pacientes de un hospital dieron positivo para sarampión, y el 68% positivo para coronavirus. El porcentaje de pacientes que resultaron positivo para sarampión habiendo sido positivos para coronavirus es del 85%. Si Juan sabe que es positivo para sarampión, ¿qué probabilidad tiene de haber sido positivo para coronavirus?

Solución: Los eventos mencionados son: $A$ tener sarampión y $B$ tener coronavirus, por tanto:

• La probabilidad de que $A$ ocurra es $P(A)=0.75$
• La probabilidad de que $B$ ocurra es $P(B)=0.68$
• La probabilidad de que un paciente tenga sarampión dado que ya tiene covid es $P(A|B)=0.85$

ahora, lo que se esta buscando es la probabilidad de que un paciente tenga covid dado que ya tiene sarampión, es decir: $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},$$ pero se desconoce la probabilidad de que un paciente tenga las dos enfermedades, en decir: $P(A\cap B)$. Sin embargo, por definición de probabilidad condicional $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\hspace{1.4cm}\Longrightarrow\hspace{1.4cm} P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=(0.68)(0.85)=0.578$$ con lo cual, la probabilidad de que un paciente tenga covid dado que ya tiene sarampión es: $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0.578}{0.75}\approx 0.771$$

Ejemplo 2. En un taller, se elaboran 1000 camisetas de fútbol. A partir de la siguiente tabla,

Distribución de camisetas de fútbol por equipos Vs estado de las camisetas
	Buenas	Defectuosas	Total
Juventus	700	90	790
Manchester	110	100	210
Total	810	190	1000

Tabla 1. Camisetas

• La probabilidad de que una camiseta seleccionada al azar, esté defectuosa.
• La probabilidad de que una camiseta seleccionada al azar, sea del Manchester.
• Si un hincha compra una camiseta del Manchester, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuosa?
• Si un hincha compra una camiseta de la Juventus, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuosa?

Solución: Los eventos mencionados son: $B$ comprar una camisa buena, $D$ comprar una camisa defectuosa, $J$ ser hincha del Juventus y $M$ ser hincha del Manchester, por tanto:

• La probabilidad de que una camiseta seleccionada al azar, esté defectuosa es: \begin{align}P(D)=\frac{190}{1000}=\frac{19}{100}=0.19\end{align}
• La probabilidad de que una camiseta seleccionada al azar, sea del Manchester es: \begin{align}P(M)=\frac{210}{1000}=\frac{21}{100}=0.21\end{align}
• La probabilidad de que un hincha del Manchester compre una camiseta defectuosa es: \begin{align}P(D|M)=\frac{P(D\cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{21}{100}}=\frac{10}{21}=0.476\end{align}
• La probabilidad de que un hincha del Juventus compre una camiseta defectuosa es: \begin{align}P(D|J)=\frac{P(D\cap J)}{P(J)}=\frac{\frac{9}{100}}{\frac{79}{100}}=\frac{9}{79}=0.1139\end{align}