Potenciación

La potencia de un número es el resultado de tomarlo como factor dos o mas veces. Así, $9$ es una potencia de $3$ porque $3\times 3=9$.

Notación: El número que se multiplica por sí mismo se llama base de la potencia. A la derecha y arriba de la base se escribe un número pequeño llamado exponente, que indica las veces que la base se repite como factor. Así, por ejemplo, la segunda potencia o cuadrado de 5 es 25 porque  $$5^2=5\times 5=25.$$ La tercera potencia o cubo de 3 es 27 puesto que $$3^3=3\times 3\times 3=27.$$ En general, la enésima potencia de un número es el resultado de tomarlo como factor $n$ veces. Así: $$a^n=a\times a\times a\times \cdots\times a$$ donde:

• $a$ es la base, el número que se multiplica.
• $n$ es el exponente, el número de veces que se multiplica la base por sí misma. 

Propiedades:

1. Cualquier número elevado a 0 es 1: $$a^0=1.$$
2. Cualquier número elevado a 1 es el mismo número: $$a^1=a.$$
3. Cuando se multiplican potencias de la misma base, los exponentes se suman. $$a^m\times a^n=a^{m+n}.$$
4. Cuando se dividen potencias de la misma base, los exponentes se restan. $$a^m\div a^n=a^{m-n}$$ Para que las propiedades 1 y 4 sean matemáticamente válidas, es fundamental considerar lo siguiente:

El mandamiento de las matemáticas.

Jerarquía en las operaciones:

1. Primero se debe resolver lo que esté dentro de paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.
2. Luego calcular las potencias $a^n$.
3. Seguidamente, las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
4. Por último, efectuar las sumas y restas, también en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

Ejemplos:

• Efectuar $\left(8+2^3\right)\div4+6\times(5-3)$ $$\begin{align}&(8+2^3)\div4+6\times(5-3)\\&(8+8)\div4+6\times(5-3)\\&16\div4+6\times 2\\&4+12=16\end{align}$$
• Efectuar $(18-2^3)+6\times[4+(12\div4)]-10$ $$\begin{align}&(18-2^3)+6\times[4+(12\div4)]-10\\&(18-8)+6\times[4+(12\div4)]-10\\&10+6\times[4+3]-10\\&10+6\times7-10\\&10+42-10=42\end{align}$$

Ejercicios.

• $2^{10}\times 10^ 2\times 8^0=$ 102400 
  
• $\left(2^4\times 5^2\right)\div \left(5^0\times 4^2\right) =$ 25
• $\left(3^4\times a^0\right)\div \left(9^2\times b^0\right)=$ 1
• $5^5\times 2^3\div 10^2\times 5^0=$ 250
  
• $3^0\times 5^2\div 4^0=$ 25
  
• $3^3\times 2^2-3^0\times 4^0=$ 107
  
• $8\times 5^0-5^0=$ 7
• $a^0b^0+c^0+4d^0=$ 6