Paridad de una función

Una importante propiedad de las funciones es la paridad, la cual se refiere al comportamiento par o impar de una función:

• $f(x)$ es par si $f(-x)=f(x)\quad \forall x\in D$
• $f(x)$ es impar si $f(-x)=-f(x)\quad \forall x\in D$

La gráfica de un función con paridad par o impar tiene una especial simetría.

• Una función par: su gráfica tiene simetría respecto al eje $Y$. Esto significa que si $P=(a,b)$ esta sobre la gráfica entonces $Q=(-a,b)$ también lo esta. 

• Una función impar: su gráfica tiene simetría respecto al origen. Esto significa que si $P=(a,b)$ esta sobre la gráfica entonces $Q=(-a,-b)$ también lo esta.

• Muchas funciones no son ni par ni impar, es decir no tienen simetría respecto al eje $Y$ ni al origen. 

Ejemplo 1: De las siguientes funciones cuales son par o impar o ninguna de las dos. \begin{align}f(x)=x^4\hspace{2cm}g(x)=\frac{1}{x}\hspace{2cm}h(x)=x^2+x \end{align}

Solución: 

• $f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$. Entonces, $f(x)=f(-x)$ y por tanto $f(x)$ es par.
• $g(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-g(x)$. Entonces, $g(x)=-g(x)$ y por tanto $g(x)$ es impar.
• $h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x$. Se puede ver que no es igual a $h(-x)$ ni tampoco a $-h(x)=-x^2-x$. Por tanto, $h(x)$ no es ni par ni impar.

Ejemplo 2: El siguiente App muestra la gráfica de la función de Cauchy donde se evidencia que es una función par, ya que es simétrica respecto al eje $Y$. Esto también se puede ver en la tabla de valores que se obtiene moviendo el deslizador, pues cumple con $f(-x)=f(x)$ para cualquier valor de $x$.

Actividad: Determine en cada una de las siguientes funciones si es par o impar o ninguna de las dos. \begin{align}f(x)=x^5\hspace{2cm}g(x)=\frac{1}{x^4-x^2}\hspace{2cm}h(x)=x^3-x^2 \end{align}