Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa es un modelo de probabilidad que se utiliza para calcular la probabilidad de un número determinado de ensayos necesarios para obtener un número específico de éxitos en un experimento binomial. En otras palabras, se utiliza para calcular la probabilidad de cuántos intentos son necesarios antes de obtener un número específico de éxitos.

Esta distribución es útil en una variedad de campos, incluyendo la investigación médica, la ingeniería y la economía. Algunas aplicaciones específicas incluyen:

• En estudios médicos, se puede utilizar para determinar cuántos pacientes deben ser tratados antes de que se observe un cierto número de respuestas positivas a un tratamiento.
• En ingeniería, se puede utilizar para determinar cuántas piezas deben ser producidas antes de que se obtenga un cierto número de piezas que cumplen con las especificaciones de calidad.
• En economía, se puede utilizar para modelar el número de ventas necesarias para alcanzar un objetivo de ganancias específico.

En general, la distribución binomial negativa es una herramienta útil para modelar situaciones en las que se requiere un número específico de éxitos en un experimento binomial y se desea saber cuántos ensayos son necesarios para lograrlo.

Para obtener la función de densidad de esta distribución, primero pensemos en el último ensayo en el cual se ha obtenido el $k$-ésimo éxito, es decir: Sea $X=x$ tal que el $x$-ésimo ensayo sea necesariamente el $k$-ésimo éxito. Por lo tanto; los restantes $(k-1)$ éxitos se obtienen en las restantes $(x-1)$ repeticiones del experimento. Esto es: \begin{align*}p_{_{\cal B^*}}\!(x)=\left(\begin{matrix}x-1 \\k-1\end{matrix}\right)p^kq^{x-k}\quad\quad\text{donde}\quad\quad x=k,k+1,\dots\quad\text{y}\quad 0<p<1.\end{align*} Análogo a la distribución binomial, $p^kq^{x-k}$ representa la probabilidad que en $x$ ensayos se obtengan $k$ éxitos consecutivos y el factor $C^{x-1}_{k-1}$ el número de combinaciones posibles en los que se pueden obtener. La distribución binomial negativa se usa en el campo de la ingenieria para determinar si el resultado de un proyecto sera el adecuado, ya que si la probabilidad de tener muchos fracasos es alta, se podria descartar el proyecto antes de tener que invertir en él.

Para denotar que una variable aleatoria sigue una distribución binomial negativa de parámetros $k$ y $p$, se escribe $X\sim {\cal B^*}(k,p)$.

Iteración de la función de densidad

A partir de la siguinte propiedad para los coeficientes binomiales\begin{align}\left(\begin{matrix}x \\k-1\\ \end{matrix}\right)=\frac{x}{x-k+1}\left(\begin{matrix}x-1 \\ k-1\end{matrix}\right)\end{align}La función de densidad $p_{_{\cal B^*}}\!(x)$ se obtiene iterando

• $f(k)=p^k\hspace{0.5cm}\text{valor inicial}$
• $f(i+1)=\left(\frac{iq}{i-k+1}\right)f(i)\hspace{0.3cm}\text{para}\hspace{0.3cm} i\geq k$

A continuación se presenta un Applet en Rstudio el cual es un generador de la distribución ${\cal B^*}(k,p)$.

Applet 1. Generador de distrubuciones ${\cal B^*}(k,p)$