Método de Euler

El método de Euler es una técnica numérica simple y directa que permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En esta sección, nos enfocaremos en el caso de una partícula con aceleración conocida, y determinaremos su trayectoria en función del tiempo a partir de condiciones iniciales.

Pasos del Método de Euler
Supongamos una partícula cuya posición está descrita por $(x,y)$ y su aceleración es $(a_x,a_y)$. Es decir; $$\begin{align*}a_x&=f_1(x,y,\dot{x},\dot{y},t), \\ a_y&=f_2(x,y,\dot{x},\dot{y},t)\end{align*}$$ El método de Euler avanza en pequeños pasos de tiempo $\Delta t$ para aproximar las posiciones y velocidades futuras de la partícula, mediante los siguientes pasos:

1. Determinar las condiciones iniciales de: 

• La posición $(x_\circ,y_\circ)$​.
• La velocidad $(v_{\circ x},v_{\circ y}​)$.
• Y la aceleración $(a_x,a_y)$​ cuyas componentes pueden depender del tiempo, posición y velocidad. Es decir, estas pueden estar incluso acopladas.
  

2. Actualizar las velocidades a partir de las aceleraciones iniciales, en cada diferencial de tiempo $\Delta t$: $$\begin{align*}v_x[i]&=v_x[i-1]+a_x\Delta t\\v_y[i]&=v_y[i-1]+a_y\Delta t\end{align*}$$ 3. Actualizar las posiciones a partir de las velocidades obtenidas, en cada diferencial de tiempo $\Delta t$: $$\begin{align*}x[i]&=x[i-1]+v_x\Delta t\\y[i]&=y[i-1]+v_y\Delta t\end{align*}$$ 4. Repetir el proceso de los pasos 2 y 3 para cada intervalo de tiempo $\Delta t$ hasta que se complete el tiempo total del proceso.

Ejemplo 1. La Fig. 1, obtenida en [1] mediante el uso de este método en Python, muestra la trayectoria del proyectil [2], cuyas ecuaciones de movimiento son las siguientes: $$\begin{align*}\ddot{x} &=-\frac{b}{m}v_x\sqrt{v_x^2+v_y^2}, \\ \ddot{y} &=-g-\frac{b}{m}v_y\sqrt{v_x^2+v_y^2}\end{align*}$$

Fig. 1. Trayectoria del proyectil con condiciones iniciales:
$(x_\circ,y_\circ)=(0,0)$, $b=0.001\,kg/m$, $v_\circ=100\,m/s$ y $\theta_\circ=60^\circ$

Bibliografía
[1]. MyCompiler. Recuperado el 1 de julio de 2024, de https://www.mycompiler.io/edit/2RyLXfSn1sd.  
[2]. J. P. Albuquerque, A. M. Macêdo, R. C. Vasconcelos, Critique on “Projectile Motion Analysis in the Presence of Dissipative Forces for the High Speed Regime”, Rev. Bras. Ens. Fis. 45, e20230060 (2023). https://www.scielo.br/j/rbef/a/vCwwJVCZ3srqzD9LVWWh3ZK/?format=pdf&lang=pt