El máximo común divisor $(MCD)$ de dos o más números es el número más grande que puede dividir a todos esos números sin dejar residuo. Es decir, es el mayor número que es un divisor común de todos los números dados.
Por ejemplo, para los números 24 y 36, los divisores son:
Por ejemplo, para los números 24 y 36, los divisores son:
- Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
El mayor número que aparece en ambas listas es 12, por lo tanto, el $MCD$ de 24 y 36 es 12. Notaremos de ahora en adelante $MCD(24,36)=12$.
Teniendo en cuenta los criterios de división y la descomposición de un número entero en factores primos, se da a conocer el siguiente método abreviado para calcular el mínimo común múltiplo $(MCM)$ y el máximo común divisor $(MCD)$ de un conjunto de números.
| 12 |
24 |
36 |
48 |
2 |
2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 |
12 |
18 |
24 |
2 |
2 |
| 3 |
6 |
9 |
12 |
2 |
x |
| 3 |
3 |
9 |
6 |
2 |
x |
| 3 |
3 |
9 |
3 |
3 |
3 |
| 1 |
1 |
3 |
1 |
3 |
x |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
Tabla 1. MCM y MCD usando el método abreviado.
El producto de los números de la última columna $2^2\times3=12$ corresponde al $MCD(12,24,36,48)$ y el producto de los números de la penúltima columna $2^4\times 3^2=144$ es el $MCM(12,24,36,48)$.
Ejercicio 1. David tiene 24 dulces para repartir, Fernando tiene 18 y Santiago 36. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible,
- ¿Cuántos dulces repartirán a cada persona?
- ¿A cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?
Ejercicio 2. Andrés tiene una cuerda de $120\,cm$, otra de $96\,cm$ y una tercera de $48\,cm$. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible.
- ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
- ¿Cuánto debe medir cada trozo?
Ejercicio 3. Pablito quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará:
- 12 litros de pintura roja,
- 24 litros de pintura verde y
- 16 litros de pintura blanca.
- ¿De cuántos litros debe ser cada bote de pintura?
- ¿Cuántos botes de cada color debe comprar?
Desarrollo.
Ejercicio 4. Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros:
Ejercicio 4. Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros:
- Opción 1: tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio,
- Opción 2: tarda 8 días en ir y regresar a su punto de inicio y
- Opción 3: tarda 10 días en ir y regresar a su punto de inicio.
Desarrollo.
Ejercicio 5. Juan, Paul, David y Andrea van a correr a un parque todos los días. Los tiempos de estos atletas son los siguientes:
Ejercicio 5. Juan, Paul, David y Andrea van a correr a un parque todos los días. Los tiempos de estos atletas son los siguientes:
- Juan: 1 vuelta en 2 minutos.
- Paul: 3 vueltas en 7 minutos y 30 segundos.
- David: 4 vueltas en 9 minutos y 20 segundos.
- Andrea: 2 vueltas en 4 minutos y 20 segundos.
- ¿Quién es el más y el menos veloz?
- Si todos partieran del mismo punto y en el mismo instante, ¿cuánto tardarían en encontrarse de nuevo todos en el punto de partida?
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