Máximo Común Divisor y Minimo Común Multiplo

El máximo común divisor $(MCD)$ de dos o más números es el número más grande que puede dividir a todos esos números sin dejar residuo.

Por ejemplo, para los números 24 y 36, los divisores son:

• Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

El mayor número que aparece en ambas listas es 12, por lo tanto, el $MCD$ de 24 y 36 es 12. Notaremos de ahora en adelante $MCD(24,36)=12$.

El mínimo común múltiplo $(MCM)$ de dos o más números es el número más pequeño que puede ser dividido por todos esos números sin dejar residuo.

Teniendo en cuenta los criterios de división y la descomposición de un número entero en factores primos, se da a conocer el siguiente método abreviado para calcular el mínimo común múltiplo $(MCM)$ y el máximo común divisor $(MCD)$ de un conjunto de números de forma simultanea.

12	24	36	48	2	2
6	12	18	24	2	2
3	6	9	12	2	x
3	3	9	6	2	x
3	3	9	3	3	3
1	1	3	1	3	x
1	1	1	1

Tabla 1. MCM y MCD usando el método abreviado.

El producto de los números de la última columna $2^2\times3=12$ corresponde al $MCD(12,24,36,48)$ y el producto de los números de la penúltima columna $2^4\times 3^2=144$ es el $MCM(12,24,36,48)$.
 

Ejercicio 1. David tiene 24 dulces para repartir, Fernando tiene 18 y Santiago 36. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible,

• ¿Cuántos dulces repartirán a cada persona?
• ¿A cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

Desarrollo.

Ejercicio 2. Andrés tiene una cuerda de $120\,cm$, otra de $96\,cm$ y una tercera de $48\,cm$. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible.

• ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
• ¿Cuánto debe medir cada trozo?

Desarrollo.

 

Ejercicio 3. Pablito quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará:

• 12 litros de pintura roja,
• 24 litros de pintura verde y
• 16 litros de pintura blanca.

Pero Pablito quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible.

• ¿De cuántos litros debe ser cada bote de pintura?
• ¿Cuántos botes de cada color debe comprar?

Desarrollo.

Ejercicio 4. Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros:

• Opción 1: tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio,
• Opción 2: tarda 8 días en ir y regresar a su punto de inicio y
• Opción 3: tarda 10 días en ir y regresar a su punto de inicio.

Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 39 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros?

Desarrollo.

Ejercicio 5. Juan, Paul, David y Andrea van a correr a un parque todos los días. Los tiempos de estos atletas son los siguientes:

• Juan: 1 vuelta en 2 minutos.
• Paul: 3 vueltas en 7 minutos y 30 segundos.
• David: 4 vueltas en 9 minutos y 20 segundos.
• Andrea: 2 vueltas en 4 minutos y 20 segundos.

Si todos parten al mismo tiempo y del mismo lugar, contestar:

• ¿Quién es el más y el menos veloz?
• Si todos partieran del mismo punto y en el mismo instante, ¿cuánto tardarían en encontrarse de nuevo todos en el punto de partida?

Desarrollo.