Logaritmos

Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número determinado. Se denota: $$\log_b{x}=y$$ y se lee: logaritmo de $x$ en base $b$, donde:

• $b$ es la base del logaritmo.
• $x$ es el número del cual se calcula el logaritmo.
• $y$ es el exponente al que debemos elevar la base $b$ para obtener $x$, es decir: $b^y=x.$

Ejemplos de logaritmos

• $\log_{10} 100=2$, porque $10^2 = 100.$
• $\log_2 8=3$, porque $2^3 = 8.$
• $\log_3 243=5$, porque $3^5 = 243.$

Propiedades:

1. Logaritmo de 1 es siempre cero no importa la base $$\log_b{1}=0\quad\text{porque}\quad b^0=1$$
2. El logaritmo de una base siempre es uno $$\log_b{b}=1\quad\text{porque}\quad b^1=b$$  
3. El logaritmo de un producto: $$\log_b(AB)=\log_b{A}+\log_b{B}$$
4. El logaritmo de un cociente: $$\log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b{A}-\log_b{B}$$
5. El logaritmo de una potencia: $$\log_bA^n=n\times\log_b{A}$$ Tenga en cuenta que el logaritmo no es distributivo respecto a la suma o resta: 

Jerarquía en las operaciones:  

1. Primero se resuelven las operaciones dentro de paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.
2. Luego se calculan las potencias $a^n$, raíces $\sqrt[n]{b}$ y logaritmos $\log_b{x}$.
3. Después se realizan las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
4. Finalmente, se efectúan las sumas y restas, también en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

Ejemplos:

• Efectuar $\sqrt{16} \times \log_3{9^2} + 2^{\sqrt{9}}$ $$\begin{align}&\sqrt{16} \times \log_3{9^2} + 2^{\sqrt{9}}\\&4\times 2\times\log_3{9} + 2^3\\&4\times 2\times 2 + 8=24\end{align}$$
• Efectuar paso a paso lo siguiente: $$\sqrt{\left(\log_2(8)\right)^2+\left(\log_3(81)\right)^2 } + 10 \div 2 - \sqrt{9} \times \log_3(27) + \left(\sqrt{25}\right)^2 - \log_{10}(1000)$$ 1. Resolviendo las raíces y logaritmos: $$\log_2(8)=3,\quad\log_3(81)=4,\quad\log_3(27)=3\quad\text{y}\quad\log_{10}(1000)=3$$ 2. Sustituye los valores en la expresión original y efectuando las operaciones: $$\begin{align}&\sqrt{3^2+4^2 } + 10 \div 2 - 3 \times 3 + 25 - 3\\&\sqrt{9+16} + 5 - 9 + 25 - 3\\&\sqrt{25} + 5 - 9 + 25 - 3\\&5 + 5 - 9 + 25 - 3=23\end{align}$$

Ejercicios.

• $\sqrt{16} \times \log_5(25) + 3^2 - 12\div\sqrt{9} - \log_{10}(1000)=$ 10
• $\sqrt[3]{27} \times \log_2(16) + \left(\sqrt{25}\right)^3 - 20\div\sqrt{16} + \log_3(81)=$ 136
• $\sqrt[4]{256} \times \log_5(25) + 2^{\sqrt{64}} - 30\div\sqrt{25} + \log_{10}(100)=$ 260 
• $\sqrt{100} \times \log_3(81) + \sqrt[3]{8} \times \left(\sqrt{49}\right)^2 - 50\div\sqrt{25} + \log_2(32)=$ 133 
• $\sqrt{25} \times 2^3 - 10\div\sqrt{4} + \log_5\left(3^2 + 4^2\right)=$ 37 
• $3^{\log_2{\sqrt{64}}} + \sqrt{25} \times 4 - 20\div\sqrt{16}=$ 42
• $\log_2\left(\sqrt{16} \times \sqrt[3]{8}\right) + 5^2 - 18\div\sqrt{9}=$ 22