Logaritmos complejos

Para extender la función logaritmo al plano complejo, debemos tener presente el periodo $T=2\pi$ de las funciones trigonométricas seno y coseno, con lo que es claro lo siguiente: $$e^{i(\theta+2n\pi)}=\cos{(\theta+2n\pi)}+i\sin{(\theta+2n\pi)}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}=e^{i\theta}\hspace{0.5cm}\text{donde}\hspace{0.5cm}n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$ Según esto, al ángulo de fase $\theta$ se le puede agregar cualquier múltiplo de $2\pi$ sin cambiar $z$. En consecuencia, aplicando logaritmo a la representación polar, se tiene:  $$z=re^{i(\theta+2n\pi)}\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}\ln{z}=\ln{r}+i(\theta+2n\pi)$$ En otras palabras, el valor principal del logarítmo (cuando $n=0$) se puede escribir $$\ln{z}=u(x,y)+iv(x,y)$$ en donde $$u(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$$ y  $$v(x,y)=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

Ejemplo 1. Determinar los valores de $\ln{(1-i)}$. En primera instancia es necesario usar la forma polar del complejo, tal como se muestra en la siguiente gráfica: 

Fig. 1 Forma polar de $1-i$

por tanto $$\ln{(1-i)}=\ln{\sqrt{2}}+i\left(\frac{7}{4}\pi+2k\pi \right).$$ El valor principal del logaritmo se tiene cuando $k=0$, es decir:  $$\ln{(1-i)}=\frac{1}{2}\left(\ln{2}+i\frac{7}{2}\pi\right).$$

Mapeo de funciones complejas

Video 1. Represntación HSB

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