Notas de Cálculo: La aparición de los números

El hueso de Ishango y el arte de contar. En 1960 Jean Heinzelin de Braucourt encontró en lo que entonces se llamaba el Congo Belga (hoy cerca del Virunga National Park, en la frontera Congo-Uganda) el Hueso Ishango, que quizá sea el mayor artefacto humano primitivo conocido. Esta "herramienta" que está hecha de hueso de mandril o babuino, fue en un principio datado entre el 6500 y el 9000 a.C. Pero análisis posteriores la sitúan en una antigüedad de unos 25.000 años.

Fig. 1. Hueso de Ishango.

En el hueso Ishango hay una serie de incisiones, que van agrandándose y reduciéndose progresivamente a lo largo del mismo. Según el astrónomo Paul Murdin esas incisiones representan las fases de la Luna. Así, irían creciendo hasta la Luna llena, y luego decrecerían hasta la Luna nueva. De estar en lo cierto, el Hueso Ishango constituiría el registro astronómico más antiguo de la Humanidad. Según Murdin probablemente el hueso pertenecería a una mujer que llevaba las cuentas de su ciclo menstrual, y que por tanto estaría realizando observaciones astronómicas hace 25.000 años.

Investigaciones anteriores consideraron al Hueso Ishango como el objeto matemático más antiguo del mundo. De hecho, las columnas de incisiones representan series de números. La primera columna contiene la serie: 9, 19, 21, 11. La segunda columna: 19, 17, 13, 11. Y la tercera 7, 5, 5, 10, 8, 4, 6, 3:

Fig. 2. Serie de números sobre el hueso de Ishango.

Esto podría indicar que el hueso se usaba como herramienta para realizar sencillas operaciones matemáticas, ya que implicaría un conocimiento del principio de la multiplicación. Pero, como afirma Paul Murdin, los números también encajan con las fases lunares.

El pueblo de sumer y la aparición de la aritmética. Uruk fue una antigua ciudad sumeria. Se encontraba en la orilla del río Éufrates y vivió su máximo esplendor en el tercer milenio antes de Cristo. Una de sus características más llamativas era su muralla, que rodeaba una zona de unos siete kilómetros cuadrados donde vivían ochenta mil personas. Es decir, era la mayor ciudad que el mundo había conocido hasta entonces.

Se considera que en Uruk nació la aritmética y la contabilidad, y no solo eso, sino que también apareció por primera vez la rueda y la escritura en torno al año 3300 a. C. De hecho, allí se escribió el Poema de Gilgamesh, que es una de las primeras obras literarias que se conservan.

Los sumerios fueron pioneros en la invención de un sistema numeral posicional, un logro que legaron al posterior Imperio Babilónico, el cual surgió siglos más tarde en la misma región y se extendió por toda la zona central de Mesopotamia.

No obstante, su sistema era diferente al nuestro y no se basaba en diez símbolos numéricos, sino en sesenta. Es decir, los sumerios utilizaban cincuenta y nueve símbolos para formar los primeros números tal como se muestra en la Fig. 2, pero a partir del sesenta utilizaban repeticiones de símbolos anteriores, siendo la posición de las cifras la que definía la cantidad exacta, tal como ocurre con nuestro sistema.

Fig. 3. Sistema sexagesimal.

Viendo esto, uno podría preguntarse por qué utilizar sesenta números. Los hindúes y los chinos usaban diez por los dedos de las manos, pero ¿por qué sesenta? La respuesta también está en nuestras extremidades, que parecen haber inspirado el surgimiento de la numeración en casi todas las culturas.

Fig. 4. Contando con las falanges de una mano.

Los sumerios utilizaban el dedo gordo para señalar las diferentes falanges de los cuatro dedos restantes de esa mano, empezando por el meñique. Teniendo levantado el dedo meñique de la otra mano, una vez que contaban todas las falanges, levantaban el siguiente dedo y volvían a empezar. Así obtenemos la clave del origen de su sistema sexagesimal, ya que doce falanges por cinco dedos levantados son igual a sesenta.

El sistema sumerio presentaba problemas, ya que algunos números podían escribirse igual al cambiar de un grupo de sesenta números al siguiente, algo parecido a lo que les pasaría a los hindúes más de dos milenios después.

En la historia de la humanidad, algunas civilizaciones han encontrado soluciones parecidas a los mismos problemas, así que los escribas sumerios se dieron cuenta —al igual que lo harían los hindúes— de que había que dejar un espacio vacío entre algunos números para diferenciarlos, del mismo modo que nosotros diferenciamos el 68 del 608 utilizando un cero.

Los sumerios solucionaron su problema dejando un hueco entre los números, pero cada uno dejaba una distancia diferente, y lo que era un hueco podía confundirse fácilmente con dos. Cuando se dieron cuenta de que no se podía utilizar un espacio vacío, se inventó un apóstrofe para mostrar la ausencia de número. Ese símbolo era una aproximación a una de las dos funciones que tiene nuestro cero, en concreto la función posicional. Veamos unos ejemplos prácticos de como escribir números mas grades.

60² = 3600
Dos apostrofes
60¹ = 60
Un apostrofe
60⁰ = 1






Tabla 1. Algunos números en base 60.

Al igual que en nuestro sistema, la primera posición indica las unidades, que van del 1 al 59 en este caso. La segunda posición representa las centenas, es decir, cuántos conjuntos de 60 contiene el número. Mientras que la tercera posición indica el equivalente a las centenas, es decir, cuántos conjuntos de $60^2\,(3600)$ contiene el número en cuestión. Este patrón se repite sucesivamente a medida que los números aumentan. Para el caso de la tabla 1 note que los números corresponden a:
El de la segunda fila$\quad 2\times60+4=124$.
El de la tercera fila$\quad 2\times60^2+22\times60+4=8524$.
La ultima fila$\quad 4\times60^2=14400$.
Dejamos al lector que explore cómo se llevan a cabo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

El imperio Egipcio y el arte de medir. El uno paso de contar a medir los egipcios fueron los primeros en construir un patrón de medida

La india y la aparición del cero. El número cero se registro por primera vez en la India, en el templo de Chaturbhuj dentro de la fortaleza de Gwailor, Este templo fue construido durante el reinado del Rey Madhukaradeva en el siglo XII, específicamente entre los años 1110 y 1150 d.C.