Integrales de Cauchy

Teorema de Cauchy para regiones múltiplemente conexas. Si $f(z)$ es analítica en una región $\mathcal{R}$ y en su frontera la cual esta limitada por dos curvas cerradas simples $C_1$ y $C_2$ tal como se muestra en la Fig. 1. Entonces $$\oint_C f(z)\,dz=\oint_{C_1}f(z)\,dz+\oint_{C_2}f(z)\,dz=0$$ donde la frontera $C_1$ y $C_2$ se recorren en el sentido en el que un observador que camine sobre ella siempre tenga la región $\mathcal{R}$ a su izquierda.

Lema. Si $f(z)$ es analítica en una región $\mathcal{R}$ y en su frontera la cual esta limitada por dos curvas cerradas simples $C_1$ y $C_2$ tal como se muestra en la Fig. 1. Entonces $$\oint_{C_1}f(z)dz=\oint_{C_2}f(z)dz$$ donde $C_1$ y $C_2$ se recorren en sentido positivo en relación con sus interiores.

Fig. 1 Región múltiplemente conexa 

Integrales de Cauchy. Sea $f(z)$ analítica en el interior y sobre la frontera $C$ de una región simplemente conexa $\mathcal{R}$ y sea $a$ un punto en su interior. Entonces $$f(a)=\frac{1}{2\,\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz$$  donde $C$ se recorre en sentido positivo. Además, la $n$-ésima derivada de $f(z)$ en $z=a$ es $$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\,\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz\hspace{1cm}n=1,2,3,\dots$$

Fig. 2 

Demostración. La función $f(z)/(z-a)$ cumple con las condiciones mencionadas excepto en $z=a$. De acuerdo con el lema aplicado en la Fig. 2, se tiene: $$\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz=\oint_\Gamma\frac{f(z)}{z-a}dz$$ donde $\Gamma$ se elige como una circunferencia de radio $\epsilon$ con centro en $a$. De este modo, una ecuación de $\Gamma$ es $$z-a=\epsilon e^{i\theta},\hspace{1cm}\text{donde}\hspace{1cm}0\leq\theta<2\pi.$$ Se sustituye $z=a+\epsilon e^{i\theta}$, $dz=i\epsilon e^{i\theta}d\theta$ y la integral de la derecha se convierte en $$\oint_\Gamma\frac{f(z)}{z-a}dz=\int_0^{2\pi}\frac{f(a+\epsilon e^{i\theta})i\epsilon e^{i\theta}}{\epsilon e^{i\theta}}\,d\theta=i\!\int_0^{2\pi}\!\!f(a+\epsilon e^{i\theta})\,d\theta$$ De manera que aplicando el límite: $$\begin{align}\lim_{\epsilon\to 0}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz=\lim_{\epsilon\to 0}i\!\int_0^{2\pi}\!\!f(a+\epsilon e^{i\theta})\,d\theta\end{align}$$ Ahora, mediante la continuidad de $f(z)$, se tiene $$\begin{align}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz=i\!\int_0^{2\pi}\!\!\lim_{\epsilon\to 0}f(a+\epsilon e^{i\theta})\,d\theta=i\int_0^{2\pi}\!\!f(a)\,d\theta=2\,\pi if(a)\end{align}$$   con lo que se obtiene el resultado $$f(a)=\frac{1}{2\,\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz\,\, \checkmark$$

Ejemplo 1. Calcule $$\oint_C\frac{5z+7}{z^2+2z-3}dz,$$ donde $C$ es el círculo $|z-2|=2$ o $z=2+2e^{i\theta}$ con $0\leq\theta\leq2\pi.$

Fig. 3 Curva

Solución. Factorizando el denominador $z^2+2z-3=(z-1)(z+3)$ nos podemos dar cuenta que el integrado deja de ser analítico en $z=1$ y $z=-3$. De estos dos puntos, únicamente $z=1$ se encuentra dentro del contorno $C$, tal como se puede apreciar en la Fig. 3. Ahora, aplicando fracciones parciales, $$\frac{5z+7}{z^2+2z-3}=\frac{3}{z-1}+\frac{2}{z+3}$$ y así $$\oint_C\frac{5z+7}{z^2+2z-3}dz=3\oint_C\frac{dz}{z-1}+2\oint_C\frac{dz}{z+3},$$ luego, aplicando la integral de Cauchy y el teorema de Cauhy, es claro que: $$\oint_C\frac{dz}{z-1}=2\,\pi i\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}\oint_C\frac{dz}{z+3}=0$$ por tanto $$\oint_C\frac{5z+7}{z^2+2z-3}dz=6\, \pi i$$

Ejemplo 2. Si $t>0$ y $C$ es una curva cerrada simple que encierra a $z=-1$. Evalue $$\frac{1}{2\,\pi i}\oint_C\frac{ze^{zt}}{(z+1)^3}dz$$

Solución. Aplicando la segunda derivada a la integral de Cauchy, se tiene: $$\frac{1}{2\,\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-a)^3}dz=\frac{1}{2!}f''(a)$$ donde $f(z)=ze^{zt}$ y $a=-1$ por lo cual $$f''(z)=2te^{zt}+zt^2e^{zt}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}f''(-1)=\left(2t-t^2\right)e^{-t}$$ de modo que $$\frac{1}{2\,\pi i}\oint_C\frac{ze^{zt}}{(z+1)^3}dz=\left(t-\frac{t^2}{2}\right)e^{-t}$$