Sea f(z) continua en todos los puntos de una curva C, la que se supondrá que tiene una longitud finita, es decir, C es una curva rectificable.
Fig. 1 Curva rectificable
La curva C se subdivide en n partes por medio de los puntos z1,z2,…,zn−1, que se eligen arbitrariamente, y se estable que a=z∘,b=zn. En cada arco que une zk−1 con zk, donde k=1,2,…n se elige un punto ξk y se forma la sumaSn=f(ξ1)(z1−a)+f(ξ2)(z2−z1)+⋯+f(ξn)(b−zn−1)Al escribir Δzk=zk−zk−1, la sumatoria se reduce a Sn=n∑k=1f(ξk)Δzk Si se un aumenta las subdivisiones (n→∞) de manera que la longitud |zk| de la mayor de las cuerdas tienda a cero y teniendo en cuenta la continuidad de f(z), la suma Sn tiende a un límite que no depende de la manera en que se haga la subdivisión; este límite se denota mediante limn→∞Sn=∞∑k=1f(ξk)Δzk=∫Cf(z)dz A esta integral se le conoce como integral compleja de línea a lo largo de la curva C. En este caso, se dice que f(z) es integrable a lo largo de C. Si f(z) es analítica en todos los puntos de una región R y si C es una curva que se encuentra en R, entonces f(z) es continua y por tanto integrable a lo largo de C.
Teorema 1. Si f es continua sobre una curva suave C, parametrizada por z(t)=x(t)+iy(t)dondea≤t≤b. entonces ∫Cf(z)dz=∫baf(z(t))z′(t)dt
Fig. 2 Tipos de curva
Ejemplo 1. Evalué ∫Cˉzdz a lo largo de la curva C dada por z(t)=t2+it en 0≤t≤2. Aplicando el teorema 1 tenemos ∫Cf(z)dz=∫20ˉz(t)z′(t)dt=∫20(t2−it)(2t+i)dt=∫20(2t3+t−it2)dt=10−83i
Teorema de Green. Sean P(x,y) y Q(x,y) funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región R y en su frontera C la cual es una curva simple y cerrada (vea las Fig.2-3). Entonces ∮CPdx+Qdy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy
Demostración: Sean las ecuaciones de las curvas EGF y EHF (vea la Fig. 4) y=y1(x) y y=y2(x), respectivamente. Si R es la región limitada por C, se tiene: ∬R∂P∂ydxdy=∫fe[∫y2(x)y1(x)∂P∂ydy]dx=∫feP(x,y)|y2(x)y1(x)dx=∫fe[P(x,y2)−P(x,y1)]dx=−∫feP(x,y1)dx−∫efP(x,y2)dx=−∮CPdx De modo que ∮CPdx=−∬R∂P∂ydxdy
De manera semejante, sean las ecuaciones de las curvas GEH y GFH, x=x1(y) y x=x2(y), respectivamente. ∬R∂Q∂xdxdy=∫hg[∫x2(y)x1(y)∂Q∂ydx]dy=∫hgQ(x,y)|x2(y)x1(y)dy=∫hg[Q(x2,y)−Q(x1,y)]dy=∫hgQ(x2,y)dy+∫ghQ(x1,y)dy=∮CQdyAsí, ∮CQdy=∬R∂Q∂xdxdy Finalmente sumando ambos resultados ∮CPdx+Qdy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy
Nota 1: Este teorema es válido para regiones tanto simplemente conexas como múltiplemente conexas. Note que C de la Fig. 4 es una curva simple cerrada con la propiedad de que cualquier recta paralela a los ejes coordenados corta a C a lo más en dos puntos.
Ejemplo 2: Verifique el teorema de Green en el plano para ∮(2xy−x2)dx+(x+y2)dy donde C es la curva cerrada de la región limitada por y=x2 y y2=x tal como se muestra en la Fig. 5.
Fig. 5 Región cerrada por y=x2 y y2=x
Como se puede ver P(x,y)=2xy−x2 y Q(x,y)=x+y2 entonces ∮CPdx=∫10P(x,x2)dx+∫01P(x,√x)dx=∫10(2x3−x2)dx+∫01(2x√x−x2)dx=−310de manera análoga la otra parte de la integral de linea es ∮CQdy=∫10Q(√y,y)dy+∫01Q(y2,y)dy=∫10(√y+y2)dy+2∫01y2dy=13
Por tanto, la integral buscada es ∮Pdx+Qdy=130
Por otro lado, calculando las derivadas parciales que corresponden a la segunda parte de la igualdad del teorema de Green ∂Q∂x=1y∂P∂y=2xde modo que: ∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫10∫√xx2(1−2x)dydx=130Con lo que se verifica el teorema de Green. ✓
Teorema de Cauchy Si f(z) es analítica y su derivada f′(z) es continua en una región R y en su frontera C (ver Fig. 3). Entonces ∮Cf(z)dz=0
Demostración Como f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=u+iv es analítica, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann∂u∂x−∂v∂y=0y∂v∂x+∂u∂y=0Por otro lado, la integral de línea compleja se puede expresar de la siguiente forma:∮Cf(z)dz=∮C(u+iv)(dx+idy)=∮C(udx−vdy)+i∮C(vdx+udy)Ahora, como f′(z) es continua en R y en su frontera C, aplicando el Teorema de Green se tiene: ∮Cf(z)dz=∬R(−∂v∂x−∂u∂y)dxdy+i∬R(∂u∂x−∂v∂y)dxdy=0Finalmente, la integral se anula debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. ✓
Nota 2: Al aprovechar que el teorema de Green es aplicable a regiones múltiplemente conexas como en las mostradas en la Fig. 6, este resultado se extiende a regiones múltiplemente conexas en las condiciones dadas para f(z). Sin embargo, el teorema de Cauchy-Goursat elimina la restricción de la continuidad de f′(z).
Fig. 6 Regiones múltiplemente conexas
No hay comentarios:
Publicar un comentario