Sea $f(z)$ continua en todos los puntos de una curva $C$, la que se supondrá que tiene una longitud finita, es decir, $C$ es una curva rectificable.
Fig. 1 Curva rectificable
La curva $C$ se subdivide en $n$ partes por medio de los puntos $z_1,z_2,\dots,z_{n−1},$ que se eligen arbitrariamente, y se estable que $a=z_\circ, \, b=z_n$. En cada arco que une $z_{k−1}$ con $z_k$, donde $k=1,2,\dots n$ se elige un punto $\xi_k$ y se forma la suma$$S_n=f(\xi_1)(z_1-a)+f(\xi_2)(z_2-z_1)+\cdots+f(\xi_n)(b-z_{n-1})$$Al escribir $\Delta z_k=z_k-z_{k-1}$, la sumatoria se reduce a $$S_n=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta z_k$$ Si se un aumenta las subdivisiones ($n\to\infty$) de manera que la longitud $|z_ k|$ de la mayor de las cuerdas tienda a cero y teniendo en cuenta la continuidad de $f(z)$, la suma $S_n$ tiende a un límite que no depende de la manera en que se haga la subdivisión; este límite se denota mediante $$\lim_{n\to\infty}S_n=\sum_{k=1}^{\infty}f(\xi_k)\Delta z_k=\int_Cf(z)dz$$ A esta integral se le conoce como integral compleja de línea a lo largo de la curva $C$. En este caso, se dice que $f (z)$ es integrable a lo largo de $C$. Si $f(z)$ es analítica en todos los puntos de una región $\mathcal{R}$ y si $C$ es una curva que se encuentra en $\mathcal{R}$, entonces $f(z)$ es continua y por tanto integrable a lo largo de $C$.
Teorema 1. Si $f$ es continua sobre una curva suave $C$, parametrizada por $$z(t)=x(t)+iy(t) \quad\text{donde}\quad a\leq t\leq b.$$ entonces $$\int_Cf(z)\,dz=\int_a^bf(z(t))\,z'(t)\,dt$$
Fig. 2 Tipos de curva
Ejemplo 1. Evalué $$\int_C \bar{z}\,dz$$ a lo largo de la curva $C$ dada por $z(t)=t^2+it$ en $0\leq t\leq 2$. Aplicando el teorema 1 tenemos \begin{align}\int_Cf(z)\,dz&=\int_0^2\bar{z}(t)\,z'(t)\,dt\\&=\int_0^2\!\!\left(t^2-it\right)\!\left(2t+i\right)dt\\&=\int_0^2\!\!\left(2t^3+t-it^2\right)dt=10-\frac{8}{3}i\end{align}
Teorema de Green. Sean $P(x, y)$ y $Q(x, y)$ funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región $R$ y en su frontera $C$ la cual es una curva simple y cerrada (vea las Fig.2-3). Entonces $$\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_{\mathcal R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$$
Fig. 3 Región conexa $R$ con frontera $C$
Demostración: Sean las ecuaciones de las curvas $EGF$ y $EHF$ (vea la Fig. 4) $y=y_1(x)$ y $y=y_2(x)$, respectivamente. Si $\mathcal{R}$ es la región limitada por $C$, se tiene: \begin{align}\iint_{\mathcal{R}}\frac{\partial P}{\partial y}dx\,dy&=\int_{e}^{f}\left[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\right]dx\\&=\int_{e}^{f}P(x,y)\Bigg|_{y_1(x)}^{y_2(x)}dx=\int_{e}^{f}\left[P(x,y_2)-P(x,y_1)\right]dx\\&=-\int_{e}^{f}P(x,y_1)\,dx-\int_{f}^{e}P(x,y_2)\,dx=-\oint_C P\,dx\end{align} De modo que $$\oint_C P\,dx=-\iint_{\mathcal{R}}\frac{\partial P}{\partial y}dx\,dy$$
De manera semejante, sean las ecuaciones de las curvas $GEH$ y $GFH$, $x=x_1(y)$ y $x=x_2(y)$, respectivamente. \begin{align}\iint_{\mathcal{R}}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\,dy&=\int_{g}^{h}\left[\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial y}dx\right]dy\\&=\int_{g}^{h}Q(x,y)\Bigg|_{x_1(y)}^{x_2(y)}dy=\int_{g}^{h}\left[Q(x_2,y)-Q(x_1,y)\right]dy\\&=\int_{g}^{h}Q(x_2,y)\,dy+\int_{h}^{g}Q(x_1,y)\,dy=\oint_C Q\,dy\end{align}Así, $$\oint_C Q\,dy=\iint_{\mathcal{R}}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\,dy$$ Finalmente sumando ambos resultados $$\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_{\mathcal R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$$
Nota 1: Este teorema es válido para regiones tanto simplemente conexas como múltiplemente conexas. Note que $C$ de la Fig. 4 es una curva simple cerrada con la propiedad de que cualquier recta paralela a los ejes coordenados corta a $C$ a lo más en dos puntos.
Ejemplo 2: Verifique el teorema de Green en el plano para $$\oint\left(2xy-x^2\right)dx+\left(x+y^2\right)dy$$ donde $C$ es la curva cerrada de la región limitada por $y=x^2$ y $y^2=x$ tal como se muestra en la Fig. 5.
Fig. 5 Región cerrada por $y=x^2$ y $y^2=x$
Como se puede ver $P(x,y)=2xy-x^2$ y $Q(x,y)=x+y^2$ entonces \begin{align}\oint_C P\,dx&=\int_0^1P(x,x^2)\,dx+\int_1^0P(x,\sqrt{x})\,dx\\&=\int_0^1\left(2x^3-x^2\right)dx+\int_1^0(2x\sqrt{x}-x^2)\,dx=-\frac{3}{10}\end{align}de manera análoga la otra parte de la integral de linea es \begin{align}\oint_C Q\,dy&=\int_0^1Q(\sqrt{y},y)\,dy+\int_1^0Q(y^2,y)\,dy\\&=\int_0^1\left(\sqrt{y}+y^2\right)dy+2\int_1^0y^2\,dy=\frac{1}{3}\end{align}
Por tanto, la integral buscada es $$\oint P\,dx+Qdy=\frac{1}{30}$$
Por otro lado, calculando las derivadas parciales que corresponden a la segunda parte de la igualdad del teorema de Green $$\frac{\partial Q}{\partial x}=1\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}\frac{\partial P}{\partial y}=2x$$de modo que: $$\iint_{\mathcal R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy=\int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(1-2x)\,dy\,dx=\frac{1}{30}$$Con lo que se verifica el teorema de Green. $\checkmark$
Teorema de Cauchy Si $f(z)$ es analítica y su derivada $f'(z)$ es continua en una región $\mathcal{R}$ y en su frontera $C$ (ver Fig. 3). Entonces $$\oint_Cf(z)dz=0$$
Demostración Como $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=u+iv$ es analítica, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann$$\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0\hspace{1.5cm}\text{y}\hspace{1.5cm}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$$Por otro lado, la integral de línea compleja se puede expresar de la siguiente forma:\begin{align}\oint_C f(z)\,dz&=\oint_C\left(u+iv\right)\left(dx+idy\right)\\&=\oint_C\left( u\,dx-v\,dy\right)+i\!\!\oint_C \left(v\,dx+u\,dy\right)\end{align}Ahora, como $f'(z)$ es continua en $\mathcal{R}$ y en su frontera $C$, aplicando el Teorema de Green se tiene: \begin{align}\oint_C f(z)\,dz&=\iint_{\mathcal{R}}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)dx\,dy+i\!\!\iint_{\mathcal{R}} \left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)dx\,dy=0\end{align}Finalmente, la integral se anula debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. $\checkmark$
Nota 2: Al aprovechar que el teorema de Green es aplicable a regiones múltiplemente conexas como en las mostradas en la Fig. 6, este resultado se extiende a regiones múltiplemente conexas en las condiciones dadas para $f(z)$. Sin embargo, el teorema de Cauchy-Goursat elimina la restricción de la continuidad de $f ′(z)$.
Fig. 6 Regiones múltiplemente conexas
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