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Integral de una función compleja

Sea f(z) continua en todos los puntos de una curva C, la que se supondrá que tiene una longitud finita, es decir, C es una curva rectificable.

Fig. 1 Curva rectificable

La curva C se subdivide en n partes por medio de los puntos z1,z2,,zn1, que se eligen arbitrariamente, y se estable que a=z,b=zn. En cada arco que une zk1 con zk, donde k=1,2,n se elige un punto ξk y se forma la sumaSn=f(ξ1)(z1a)+f(ξ2)(z2z1)++f(ξn)(bzn1)Al escribir Δzk=zkzk1, la sumatoria se reduce a Sn=nk=1f(ξk)Δzk Si se un aumenta las subdivisiones (n) de manera que la longitud |zk| de la mayor de las cuerdas tienda a cero y teniendo en cuenta la continuidad de f(z), la suma Sn tiende a un límite que no depende de la manera en que se haga la subdivisión; este límite se denota mediante limnSn=k=1f(ξk)Δzk=Cf(z)dz A esta integral se le conoce como integral compleja de línea a lo largo de la curva C. En este caso, se dice que f(z) es integrable a lo largo de C. Si f(z) es analítica en todos los puntos de una región R y si C es una curva que se encuentra en R, entonces f(z) es continua y por tanto integrable a lo largo de C.

Teorema 1. Si f es continua sobre una curva suave C, parametrizada por z(t)=x(t)+iy(t)dondeatb. entonces Cf(z)dz=baf(z(t))z(t)dt
Fig. 2 Tipos de curva

Ejemplo 1. Evalué Cˉzdz a lo largo de la curva C dada por z(t)=t2+it en 0t2. Aplicando el teorema 1 tenemos Cf(z)dz=20ˉz(t)z(t)dt=20(t2it)(2t+i)dt=20(2t3+tit2)dt=1083i

Teorema de Green.  Sean P(x,y) y Q(x,y) funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región R y en su frontera C la cual es una curva simple y cerrada (vea las Fig.2-3). Entonces CPdx+Qdy=R(QxPy)dxdy
Fig. 3 Región conexa R con frontera C

Demostración: Sean las ecuaciones de las curvas EGF y EHF (vea la Fig. 4) y=y1(x) y y=y2(x), respectivamente. Si R es la región limitada por C, se tiene: RPydxdy=fe[y2(x)y1(x)Pydy]dx=feP(x,y)|y2(x)y1(x)dx=fe[P(x,y2)P(x,y1)]dx=feP(x,y1)dxefP(x,y2)dx=CPdx De modo que CPdx=RPydxdy
Fig. 4 Curva simple cerrada

De manera semejante, sean las ecuaciones de las curvas GEH y GFH, x=x1(y) y x=x2(y), respectivamente. RQxdxdy=hg[x2(y)x1(y)Qydx]dy=hgQ(x,y)|x2(y)x1(y)dy=hg[Q(x2,y)Q(x1,y)]dy=hgQ(x2,y)dy+ghQ(x1,y)dy=CQdyAsí, CQdy=RQxdxdy Finalmente sumando ambos resultados CPdx+Qdy=R(QxPy)dxdy
Nota 1: Este teorema es válido para regiones tanto simplemente conexas como múltiplemente conexas. Note que C de la Fig. 4 es una curva simple cerrada con la propiedad de que cualquier recta paralela a los ejes coordenados corta a C a lo más en dos puntos. 

Ejemplo 2: Verifique el teorema de Green en el plano para (2xyx2)dx+(x+y2)dy donde C es la curva cerrada de la región limitada por y=x2 y y2=x tal como se muestra en la Fig. 5.

Fig. 5 Región cerrada por y=x2 y y2=x

Como se puede ver P(x,y)=2xyx2  y  Q(x,y)=x+y2 entonces CPdx=10P(x,x2)dx+01P(x,x)dx=10(2x3x2)dx+01(2xxx2)dx=310de manera análoga la otra parte de la integral de linea es CQdy=10Q(y,y)dy+01Q(y2,y)dy=10(y+y2)dy+201y2dy=13
Por tanto, la integral buscada es Pdx+Qdy=130
Por otro lado, calculando las derivadas parciales que corresponden a la segunda parte de la igualdad del teorema de Green Qx=1yPy=2xde modo que: R(QxPy)dxdy=10xx2(12x)dydx=130Con lo que se verifica el teorema de Green.

Teorema de Cauchy Si f(z) es analítica y su derivada f(z) es continua en una región R y en su frontera C (ver Fig. 3). Entonces Cf(z)dz=0
Demostración Como f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=u+iv es analítica, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemannuxvy=0yvx+uy=0Por otro lado, la integral de línea compleja se puede expresar de la siguiente forma:Cf(z)dz=C(u+iv)(dx+idy)=C(udxvdy)+iC(vdx+udy)Ahora, como f(z) es continua en R y en su frontera C, aplicando el Teorema de Green se tiene: Cf(z)dz=R(vxuy)dxdy+iR(uxvy)dxdy=0Finalmente, la integral se anula debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Nota 2: Al aprovechar que el teorema de Green es aplicable a regiones múltiplemente conexas como en las mostradas en la Fig. 6, este resultado se extiende a regiones múltiplemente conexas en las condiciones dadas para f(z). Sin embargo, el teorema de Cauchy-Goursat elimina la restricción de la continuidad de f(z).

Fig. 6 Regiones múltiplemente conexas

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