Funciones ortogonales

Se dice que dos funciones reales $f_n(x)$ y $f_m(x)$ son ortogonales en un intervalo $a\leq x\leq b$, si la integral del producto $f_n(x)f_m(x)$ sobre ese intervalo es igual a cero: $$\int_a^bf_n(x)f_m(x)dx=0$$ Un conjunto de funciones reales $f_\circ,f_1,f_2,\dots,$ que satisfacen esta integral para todos los pares de funciones distintas en el conjunto, es un conjunto ortogonal de funciones es ese intervalo.

A la integral $$||f_n(x)||^2=\int_a^bf^2_n(x)dx$$ se llama norma al cuadrado de la función $f_n(x)$ en el intevalo $a\leq x\leq b$.

Nota 1: Todas las funciones que se consideren serán acotadas e integrables en el intervalo bajo consideración y sus normas serán diferentes de cero. Es conveniente notar a la integral con el braket $$\langle f_n|f_m\rangle=\int_a^bf_n(x)f_m(x)dx.$$ Un conjunto de funciones reales $f_\circ,f_1,f_2,\dots,$ que satisfacen $$\langle f_n|f_m\rangle=\delta_{nm}$$ recibe el nombre de conjunto ortonormal de funciones en el intervalo $a\leq x\leq b.$

Ejemplo 1. Las funciones $f_n(x)=\cos{\!(nx)}$, $n=0,1,\dots,$ forman un conjunto ortogonal en el intervalo $[-\pi,\pi]$, puesto que $$\int_{-\pi}^{\pi}\cos{\!(nx)}\cos{\!(mx)}\,dx=\frac{\sin{\!\left((m-n)x\right)}}{2(m-n)}+\frac{\sin{\!((m+n)x)}}{2(m+n)}\Bigg|_{-\pi}^\pi=0$$ La norma al cuadrado de $f_ n$ es $$\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{\!(nx)}\,dx=\begin{cases}2\pi\hspace{1cm}n=0\\ \pi\hspace{1.3cm}n=1,2,\dots,\end{cases}$$

Ejemplo 2. Las funciones $$1,\cos{x},\sin{x},\cos{2x},\sin{2x},\dots$$ forman un conjunto ortogonal en el intervalo $[-\pi,\pi]$, puesto que $$\int_{-\pi}^{\pi}\cos{\!(nx)}\sin{\!(mx)}\,dx=0$$ y $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin{\!(nx)}\sin{\!(mx)}\,dx=\frac{\sin{\!\left((m-n)x\right)}}{2(m-n)}-\frac{\sin{\!((m+n)x)}}{2(m+n)}\Bigg|_{-\pi}^\pi=0$$ La norma al cuadrado de las funciones $\sin{\!(nx)}$ para $n\neq0$ es $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{\!(nx)}\,dx=\pi$$

Nota 2. La primera integral del ejemplo 1 se anula debido a que $m-n$ y $m+n$ son enteros y por ende $\pm(m-n)\pi$ y $\pm(m+n)\pi$ forman un ángulos planos. La primera integral del ejemplo 2 es cero debido a que la función $f(x)=\cos{\!(nx)}\sin{\!(mx)}$ es impar en el intervalo $[-\pi,\pi]$ el cual es simétrico respecto de cero.

Ejemplo 3. Determinar las constantes $a_0,b_0,\dots,c_2$ de manera que las funciones $$\begin{align}g_\circ&=a_\circ\\g_1&=b_\circ+b_1x\\g_2&=c_\circ+c_1x+c_2x^2\end{align}$$ formen un conjunto ortonormal en el intervalo $[-1,1]$

Solución: Para calcular $a_\circ$ $$||g_0(x)||=1\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\int_{-1}^1a_\circ^2 \, dx=2a^2_\circ=1$$ de modo que $g_\circ(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}.$ Ahora, según las condiciones de ortogonalidad  $$\begin{align}\langle g_\circ|g_1\rangle=0,\hspace{1cm}\langle g_\circ|g_2\rangle=0,\hspace{1cm}\langle g_1|g_2\rangle=0\end{align}$$ se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{align}\sqrt{2}b_\circ&=0\\3\sqrt{2}c_\circ+\sqrt{2}c_2&=0\\2b_\circ c_\circ+\frac{2}{3}b_1c_1+\frac{2}{3}b_\circ c_2&=0\end{align}$$ al solucionarlo, podemos deducir que: $$\begin{align}b_\circ=0,\hspace{1cm}c_1=0\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}c_\circ=-\frac{1}{3}c_2\end{align}$$ siempre que $b_1\neq 0$, por lo que el conjunto de funciones toma la siguiente forma: $$\begin{align}g_\circ&=\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{1cm}g_1=b_1x\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}g_2=-\frac{1}{3}c_2+c_2x^2\end{align}$$ Finalmente, para determinar el resto de los coeficientes usamos la condición de normalidad $$\begin{align}\langle g_1|g_1\rangle=1\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm} b_1=\sqrt{\frac{3}{2}}\end{align}$$ y de forma similar $$\begin{align}\langle g_2|g_2\rangle=1\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm} c_2=3\sqrt{\frac{5}{8}}\end{align}$$ Por tanto, el conjunto de funciones ortogonales se define mediante $$\begin{align}g_\circ&=\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{1cm}g_1=\sqrt{\frac{3}{2}}x,\hspace{1cm}\text{y}\hspace{1cm}g_2=\sqrt{\frac{5}{8}}(3x^2-1)\end{align}$$

El Método de Gram-Schmidt para la construcción de conjuntos ortogonales nos lleva de un conjunto linealmente independiente $g_1,g_2,g_3,\dots$ de funciones continuas, en el intervalo $[a,b]$ y con el producto interno $$\langle g_n|f_m\rangle=\int_a^bg_n(x)f_m(x)\,dx$$ aun conjunto ortogonal de funciones dado por: $$\begin{align}f_1&=g_1\\f_i&=g_i-\frac{\langle g_i|f_1\rangle}{\langle f_1|f_1\rangle}f_1-\frac{\langle g_i|f_2\rangle}{\langle f_2|f_2\rangle}f_2-\cdots-\frac{\langle g_i|f_{i-1}\rangle}{\langle f_{i-1}|f_{i-1}\rangle}f_{i-1}\hspace{1cm}\text{con}\hspace{1cm}i=2,3,\dots\end{align}$$
Demostración: Sea $$f_2=g_1-\frac{\langle g_1|f_1\rangle}{\langle f_1|f_1\rangle}f_1$$ formando el braket con $f_1$ se tiene: $$\langle f_2|f_1\rangle=\langle g_1|f_1\rangle-\frac{\langle g_1|f_1\rangle}{\langle f_1|f_1\rangle}\langle f_1|f_1\rangle=0$$ claramente las funciones $f_1$ y $f_2$ son ortogonales. Supongamos ahora que las funciones $f_1,f_2,\dots,f_k$ ya han sido construidas y que forman un conjunto ortogonal. Mostraremos cómo construir $f_{k+1}$. Sea $$f_{k+1}=g_{k+1}-\frac{\langle g_{k+1}|f_1\rangle}{\langle f_1|f_1\rangle}f_1-\frac{\langle g_{k+1}|f_2\rangle}{\langle f_2|f_2\rangle}f_2-\cdots-\frac{\langle g_{k+1}|f_{i}\rangle}{\langle f_{i}|f_{i}\rangle}f_{i}-\cdots-\frac{\langle g_{k+1}|f_{k}\rangle}{\langle f_{k}|f_{k}\rangle}f_{k}$$ De nuevo, formando el braket con $f_i$ para cualquier $i=1,2,\dots,k$ y teniendo en cuenta que $\langle f_j|f_i\rangle=0$ si $j\neq i$ (hipótesis de inducción). Se tiene: $$\langle f_{k+1}|f_i\rangle=\langle g_{k+1}|f_i\rangle-\frac{\langle g_{k+1}|f_i\rangle}{\langle f_i|f_i\rangle}\langle f_i|f_i\rangle=0$$ Por tanto, el conjunto $f_1,f_2,\dots f_{k+1}$ forma un conjunto ortogonal. $\checkmark$