Forma integral del operador nabla

Los teoremas que se presentan a continuación son de la forma$$\nabla*\nu=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}d\vec{A}*\nu,$$donde $\nu$ es un escalar o cantidad vectorial y la estrella $*$ representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).

Teorema 1. La divergencia de un campo vectorial $\vec{V}$ en su forma integral es:$$\nabla\cdot\vec{V}=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}\vec{V}\cdot d\vec{A},$$donde $\Delta V$ es el volumen limitado por una superficie cerrada $\partial V$. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar la divergencia $\nabla\cdot\vec{V}$ cuando $\Delta V$ tiende a cero.

Demostración. Si el punto $(x,y,z)$ en el centro de un pequeño paralelepípedo rectangular tiene aristas $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, como se muestra en la Fig. 1, entonces $\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$.

Fig. 1 Diferencial de volumen $\Delta V$

Si $\vec{V}=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}$, entonces\begin{align}&\text{Sobre $\partial V_1$ para $AFGB$,}\quad \hat{n}=\hat{i},\quad\quad d\vec{A}=\Delta y\,\Delta z\,\hat{i},\\&\text{Sobre $\partial V_2$ para $EDCH$,}\quad \hat{n}=-\hat{i},\quad d\vec{A}=-\Delta y\,\Delta z\,\hat{i},\\&\text{Sobre $\partial V_3$ para $BGDC$,}\quad\hat{n}=\hat{j},\quad\quad d\vec{A}=\Delta x\,\Delta z\,\hat{j},\\&\text{Sobre $\partial V_4$ para $AFEH$,}\quad \hat{n}=-\hat{j},\quad d\vec{A}=-\Delta x\,\Delta z\,\hat{j},\\&\text{Sobre $\partial V_5$ para $FEDG$,}\quad\hat{n}=\hat{k},\quad\quad d\vec{A}=\Delta x\,\Delta y\,\hat{j},\\&\text{Sobre $\partial V_6$ para $AHCB$,}\quad \hat{n}=-\hat{k},\quad d\vec{A}=-\Delta x\,\Delta y\,\hat{k}.\end{align}Ignorando las contribuciones diferentes de orden superior, tenemos:\begin{align}\oint_{\partial V_1}\vec{V}\cdot d\vec{A}&=\left(v_1+\frac{\partial v_1}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\Delta y\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_2}\vec{V}\cdot d\vec{A}&=-\left(v_1-\frac{\partial v_1}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\Delta y\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_3}\vec{V}\cdot d\vec{A}&=\left(v_2+\frac{\partial v_2}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\Delta x\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_4}\vec{V}\cdot d\vec{A}&=-\left(v_2-\frac{\partial v_2}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\Delta x\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_5}\vec{V}\cdot d\vec{A}&=\left(v_3+\frac{\partial v_3}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\Delta x\,\Delta y,\\\oint_{\partial V_6}\vec{V}\cdot d\vec{A}&=-\left(v_3-\frac{\partial v_3}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\Delta x\,\Delta y.\end{align}Sumando todos los resultados anteriores se obtiene$$\oint_{\partial V}\vec{V}\cdot d\vec{A}=\left(\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}\right)\Delta x\,\Delta y\,\Delta z=\nabla\cdot\vec{V}\,\Delta V.$$Por lo tanto,$$\boxed{\nabla\cdot\vec{V}=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}\vec{V}\cdot d\vec{A}}$$
Teorema 2. El gradiente de un campo escalar $\phi$ en su forma integral es:$$\nabla\phi=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}\phi\, d\vec{A},$$donde $\Delta V$ es el volumen limitado por una superficie cerrada $\partial V$. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar el gradiente $\nabla\phi$ cuando $\Delta V$ tiende a cero.

Demostración. Siguiendo el mismo procedimiento del teorema anterior tenemos:\begin{align}\oint_{\partial V_1}\phi\,d\vec{A}&=\hat{i}\left(\phi+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\Delta y\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_2}\phi\,d\vec{A}&=-\hat{i}\left(\phi-\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\Delta y\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_3}\phi\,d\vec{A}&=\hat{j}\left(\phi+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\Delta x\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_4}\phi\,d\vec{A}&=-\hat{j}\left(\phi-\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\Delta x\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_5}\phi\,d\vec{A}&=\hat{k}\left(\phi+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\Delta x\,\Delta y,\\\oint_{\partial V_6}\phi\,d\vec{A}&=-\hat{k}\left(\phi-\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\Delta x\,\Delta y.\end{align}Sumando todos los resultados anteriores se obtiene$$\oint_{\partial V}\phi\,d\vec{A}=\left[\hat{i}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)+\hat{j}\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)+\hat{k}\left(\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)\right]\Delta x\,\Delta y\,\Delta z=\nabla\phi\,\Delta V.$$Por lo tanto,$$\boxed{\nabla\phi=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}\phi\,d\vec{A}}$$
Teorema 3. El rotacional de un campo vectorial $\vec{V}$ en su forma integral es:$$\nabla\times\vec{V}=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}d\vec{A}\times\vec{V},$$donde $\Delta V$ es el volumen limitado por una superficie cerrada $\partial V$. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar el rotacional $\nabla\times\vec{V}$ cuando $\Delta V$ tiende a cero.

Demostración. Siguiendo el mismo procedimiento del teorema 1 tenemos:\begin{align}\oint_{\partial V_1}d\vec{A}\times\vec{V}&=\hat{i}\times\left(v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}\right)\Delta y\,\Delta z\\&=\left(v_2\hat{k}-v_3\hat{j}\right)\,\Delta y\,\Delta z\\&=\left[\left(v_2+\frac{\partial v_2}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\hat{k}-\left(v_3+\frac{\partial v_3}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\hat{j}\right]\,\Delta y\,\Delta z.\end{align}De manera similar se tiene\begin{align}\oint_{\partial V_2}d\vec{A}\times\vec{V}&=\left[-\left(v_2-\frac{\partial v_2}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\hat{k}+\left(v_3-\frac{\partial v_3}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}\right)\hat{j}\right]\,\Delta y\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_3}d\vec{A}\times\vec{V}&=\left[-\left(v_1+\frac{\partial v_1}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\hat{k}+\left(v_3+\frac{\partial v_3}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\hat{i}\right]\,\Delta x\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_4}d\vec{A}\times\vec{V}&=\left[\left(v_1-\frac{\partial v_1}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\hat{k}-\left(v_3-\frac{\partial v_3}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\hat{i}\right]\,\Delta x\,\Delta z,\\\oint_{\partial V_5}d\vec{A}\times\vec{V}&=\left[\left(v_1+\frac{\partial v_1}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\hat{j}-\left(v_2+\frac{\partial v_2}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\hat{i}\right]\,\Delta x\,\Delta y,\\\oint_{\partial V_6}d\vec{A}\times\vec{V}&=\left[-\left(v_1-\frac{\partial v_1}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\hat{j}+\left(v_2-\frac{\partial v_2}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\hat{i}\right]\,\Delta x\,\Delta y.\end{align}Sumando todos los resultados anteriores se obtiene$$\oint_{\partial V}d\vec{A}\times\vec{V}=\left[\hat{i}\left(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z}\right)+\hat{j}\left(\frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x}\right)+\hat{k}\left(\frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y}\right)\right]\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.$$Por lo tanto,$$\boxed{\nabla\times\vec{V}=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}d\vec{A}\times\vec{V}}$$
Lema. Se puede deducir de los teoremas 1-3, que la representación integral del operador $\nabla$ está dado por:$$\boxed{\nabla=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial V}\,d\vec{A}}$$
Definición 1. La componente del rotacional $\nabla\times\vec{V}$ en la dirección de $\hat{n}$ es:$$\hat{n}\cdot\nabla\times\vec{V}=\lim_{\Delta A\to 0}\frac{1}{\Delta A}\oint_{C}\vec{V}\cdot d\vec{r}.$$donde $\Delta A$ es el área limitada por una curva cerrada $C$ y $\hat{n}$ es el vector normal unitario asociado con $\Delta A$. Está área contiene el punto en el cual se va a evaluar el rotacional $\nabla\times\vec{V}$ cuando $\Delta A$ tiende a cero.

Teorema 4. La definición 1 es equivalente con el rotacional de $\vec{V}$, definido como el producto cruz de $\nabla$ y $\vec{V}$.

Fig. 2 Diferencial de área $\Delta A$ sobre el plano $yz$.

Demostración. Si un rectángulo $EFGH$ con respecto al punto $(x,y,z)$ tiene lados $\Delta y$ y $\Delta z$, como se muestra en la Fig. 2, entonces $\Delta A=\hat{i}\Delta y\Delta z$. Ahora, si $\vec{V}=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}$, entonces\begin{align}&\text{Para el lado $EF$,$\hspace{0.5cm}$ $d\vec{r}=\hat{j}\,dy$,}\quad \int_{EF}\vec{V}\cdot d\vec{r}=\left(v_2-\frac{\partial v_2}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\Delta y,\\&\text{Para el lado $FG$,$\hspace{0.5cm}$ $d\vec{r}=\hat{k}\,dz$,}\quad \int_{FG}\vec{V}\cdot d\vec{r}=\left(v_3+\frac{\partial v_3}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\Delta z,\\&\text{Para el lado $GH$,$\hspace{0.5cm}$ $d\vec{r}=-\hat{j}\,dy$,}\quad \int_{GH}\vec{V}\cdot d\vec{r}=-\left(v_2+\frac{\partial v_2}{\partial z}\frac{\Delta z}{2}\right)\Delta y,\\&\text{Para el lado $HE$,$\hspace{0.5cm}$ $d\vec{r}=-\hat{k}\,dz$,}\quad \int_{HE}\vec{V}\cdot d\vec{r}=-\left(v_3-\frac{\partial v_3}{\partial y}\frac{\Delta y}{2}\right)\Delta z. \end{align}Sumando estos resultados se tiene:$$\oint_C\vec{V}\cdot d\vec{r}=\left(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z}\right)\Delta y\Delta z.$$Note que $$\hat{i}\cdot(\nabla\times\vec{V})=\lim_{\Delta A\to 0}\frac{1}{\Delta A}\int_C \vec{V}\cdot d\vec{r}=\left(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z}\right).$$De manera semejante integrado alrededor de rectángulos en los planos $xz$, $xy$ ó por simple permutación cíclica de $x,y,z$ y $1,2,3$, se tiene:\begin{align}\hat{j}\cdot(\nabla\times\vec{V})&=\left(\frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x}\right),\\\hat{k}\cdot(\nabla\times\vec{V})&=\left(\frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y}\right).\end{align}Como cualquier vector $\vec{A}$, se puede escribir en la forma $$\vec{A}=(\vec{A}\cdot\hat{i})\hat{i}+(\vec{A}\cdot\hat{j})\hat{j}+(\vec{A}\cdot\hat{k})\hat{k}$$ se concluye que:\begin{align}\nabla\times\vec{V}&=\left(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y}\right)\hat{k}\\&=\left|\begin{matrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\v_1&v_2 &v_3\end{matrix}\right|.\end{align}
Se recomienda ver el siguiente vídeo.

Vídeo 1. Divergencia y Rotor