Los teoremas que se presentan a continuación son de la forma∇∗ν=limΔV→01ΔV∮∂Vd→A∗ν,donde ν es un escalar o cantidad vectorial y la estrella ∗ representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).
Teorema 1. La divergencia de un campo vectorial →V en su forma integral es:∇⋅→V=limΔV→01ΔV∮∂V→V⋅d→A,donde ΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada ∂V. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar la divergencia ∇⋅→V cuando ΔV tiende a cero.
Teorema 1. La divergencia de un campo vectorial →V en su forma integral es:∇⋅→V=limΔV→01ΔV∮∂V→V⋅d→A,donde ΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada ∂V. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar la divergencia ∇⋅→V cuando ΔV tiende a cero.
Demostración. Si el punto (x,y,z) en el centro de un pequeño paralelepípedo rectangular tiene aristas Δx, Δy, Δz, como se muestra en la Fig. 1, entonces ΔV=ΔxΔyΔz.
Fig. 1 Diferencial de volumen ΔV
Si →V=v1ˆi+v2ˆj+v3ˆk, entoncesSobre ∂V1 para AFGB,ˆn=ˆi,d→A=ΔyΔzˆi,Sobre ∂V2 para EDCH,ˆn=−ˆi,d→A=−ΔyΔzˆi,Sobre ∂V3 para BGDC,ˆn=ˆj,d→A=ΔxΔzˆj,Sobre ∂V4 para AFEH,ˆn=−ˆj,d→A=−ΔxΔzˆj,Sobre ∂V5 para FEDG,ˆn=ˆk,d→A=ΔxΔyˆj,Sobre ∂V6 para AHCB,ˆn=−ˆk,d→A=−ΔxΔyˆk.Ignorando las contribuciones diferentes de orden superior, tenemos:∮∂V1→V⋅d→A=(v1+∂v1∂xΔx2)ΔyΔz,∮∂V2→V⋅d→A=−(v1−∂v1∂xΔx2)ΔyΔz,∮∂V3→V⋅d→A=(v2+∂v2∂yΔy2)ΔxΔz,∮∂V4→V⋅d→A=−(v2−∂v2∂yΔy2)ΔxΔz,∮∂V5→V⋅d→A=(v3+∂v3∂zΔz2)ΔxΔy,∮∂V6→V⋅d→A=−(v3−∂v3∂zΔz2)ΔxΔy.Sumando todos los resultados anteriores se obtiene∮∂V→V⋅d→A=(∂v1∂x+∂v2∂y+∂v3∂z)ΔxΔyΔz=∇⋅→VΔV.Por lo tanto,∇⋅→V=limΔV→01ΔV∮∂V→V⋅d→A
Teorema 2. El gradiente de un campo escalar ϕ en su forma integral es:∇ϕ=limΔV→01ΔV∮∂Vϕd→A,donde ΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada ∂V. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar el gradiente ∇ϕ cuando ΔV tiende a cero.
Demostración. Siguiendo el mismo procedimiento del teorema anterior tenemos:∮∂V1ϕd→A=ˆi(ϕ+∂ϕ∂xΔx2)ΔyΔz,∮∂V2ϕd→A=−ˆi(ϕ−∂ϕ∂xΔx2)ΔyΔz,∮∂V3ϕd→A=ˆj(ϕ+∂ϕ∂yΔy2)ΔxΔz,∮∂V4ϕd→A=−ˆj(ϕ−∂ϕ∂yΔy2)ΔxΔz,∮∂V5ϕd→A=ˆk(ϕ+∂ϕ∂zΔz2)ΔxΔy,∮∂V6ϕd→A=−ˆk(ϕ−∂ϕ∂zΔz2)ΔxΔy.Sumando todos los resultados anteriores se obtiene∮∂Vϕd→A=[ˆi(∂ϕ∂x)+ˆj(∂ϕ∂y)+ˆk(∂ϕ∂z)]ΔxΔyΔz=∇ϕΔV.Por lo tanto,∇ϕ=limΔV→01ΔV∮∂Vϕd→A
Teorema 3. El rotacional de un campo vectorial →V en su forma integral es:∇×→V=limΔV→01ΔV∮∂Vd→A×→V,donde ΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada ∂V. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar el rotacional ∇×→V cuando ΔV tiende a cero.
Demostración. Siguiendo el mismo procedimiento del teorema 1 tenemos:∮∂V1d→A×→V=ˆi×(v1ˆi+v2ˆj+v3ˆk)ΔyΔz=(v2ˆk−v3ˆj)ΔyΔz=[(v2+∂v2∂xΔx2)ˆk−(v3+∂v3∂xΔx2)ˆj]ΔyΔz.De manera similar se tiene∮∂V2d→A×→V=[−(v2−∂v2∂xΔx2)ˆk+(v3−∂v3∂xΔx2)ˆj]ΔyΔz,∮∂V3d→A×→V=[−(v1+∂v1∂yΔy2)ˆk+(v3+∂v3∂yΔy2)ˆi]ΔxΔz,∮∂V4d→A×→V=[(v1−∂v1∂yΔy2)ˆk−(v3−∂v3∂yΔy2)ˆi]ΔxΔz,∮∂V5d→A×→V=[(v1+∂v1∂zΔz2)ˆj−(v2+∂v2∂zΔz2)ˆi]ΔxΔy,∮∂V6d→A×→V=[−(v1−∂v1∂zΔz2)ˆj+(v2−∂v2∂zΔz2)ˆi]ΔxΔy.Sumando todos los resultados anteriores se obtiene∮∂Vd→A×→V=[ˆi(∂v3∂y−∂v2∂z)+ˆj(∂v1∂z−∂v3∂x)+ˆk(∂v2∂x−∂v1∂y)]ΔxΔyΔz.Por lo tanto,∇×→V=limΔV→01ΔV∮∂Vd→A×→V
Lema. Se puede deducir de los teoremas 1-3, que la representación integral del operador ∇ está dado por:∇=limΔV→01ΔV∮∂Vd→A
Definición 1. La componente del rotacional ∇×→V en la dirección de ˆn es:ˆn⋅∇×→V=limΔA→01ΔA∮C→V⋅d→r.donde ΔA es el área limitada por una curva cerrada C y ˆn es el vector normal unitario asociado con ΔA. Está área contiene el punto en el cual se va a evaluar el rotacional ∇×→V cuando ΔA tiende a cero.
Teorema 4. La definición 1 es equivalente con el rotacional de →V, definido como el producto cruz de ∇ y →V.
Fig. 2 Diferencial de área ΔA sobre el plano yz.
Demostración. Si un rectángulo EFGH con respecto al punto (x,y,z) tiene lados Δy y Δz, como se muestra en la Fig. 2, entonces ΔA=ˆiΔyΔz. Ahora, si →V=v1ˆi+v2ˆj+v3ˆk, entoncesPara el lado EF, d→r=ˆjdy,∫EF→V⋅d→r=(v2−∂v2∂zΔz2)Δy,Para el lado FG, d→r=ˆkdz,∫FG→V⋅d→r=(v3+∂v3∂yΔy2)Δz,Para el lado GH, d→r=−ˆjdy,∫GH→V⋅d→r=−(v2+∂v2∂zΔz2)Δy,Para el lado HE, d→r=−ˆkdz,∫HE→V⋅d→r=−(v3−∂v3∂yΔy2)Δz.Sumando estos resultados se tiene:∮C→V⋅d→r=(∂v3∂y−∂v2∂z)ΔyΔz.Note que ˆi⋅(∇×→V)=limΔA→01ΔA∫C→V⋅d→r=(∂v3∂y−∂v2∂z).De manera semejante integrado alrededor de rectángulos en los planos xz, xy ó por simple permutación cíclica de x,y,z y 1,2,3, se tiene:ˆj⋅(∇×→V)=(∂v1∂z−∂v3∂x),ˆk⋅(∇×→V)=(∂v2∂x−∂v1∂y).Como cualquier vector →A, se puede escribir en la forma →A=(→A⋅ˆi)ˆi+(→A⋅ˆj)ˆj+(→A⋅ˆk)ˆk se concluye que:∇×→V=(∂v3∂y−∂v2∂z)ˆi+(∂v1∂z−∂v3∂x)ˆj+(∂v2∂x−∂v1∂y)ˆk=|ˆiˆjˆk∂∂x∂∂y∂∂zv1v2v3|.
Se recomienda ver el siguiente vídeo.
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Vídeo 1. Divergencia y Rotor
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