Forma integral del operador nabla

Los teoremas que se presentan a continuación son de la formaν=limΔV01ΔVVdAν,ν=limΔV01ΔVVdAν,donde νν es un escalar o cantidad vectorial y la estrella representa una forma aceptable de multiplicar (producto escalar o vectorial o producto simple).

Teorema 1. La divergencia de un campo vectorial VV en su forma integral es:V=limΔV01ΔVVVdA,V=limΔV01ΔVVVdA,donde ΔVΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada VV. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar la divergencia VV cuando ΔVΔV tiende a cero.

Demostración. Si el punto (x,y,z)(x,y,z) en el centro de un pequeño paralelepípedo rectangular tiene aristas ΔxΔx, ΔyΔy, ΔzΔz, como se muestra en la Fig. 1, entonces ΔV=ΔxΔyΔzΔV=ΔxΔyΔz.

Fig. 1 Diferencial de volumen ΔVΔV

Si V=v1ˆi+v2ˆj+v3ˆkV=v1^i+v2^j+v3^k, entoncesSobre V1 para AFGB,ˆn=ˆi,dA=ΔyΔzˆi,Sobre V2 para EDCH,ˆn=ˆi,dA=ΔyΔzˆi,Sobre V3 para BGDC,ˆn=ˆj,dA=ΔxΔzˆj,Sobre V4 para AFEH,ˆn=ˆj,dA=ΔxΔzˆj,Sobre V5 para FEDG,ˆn=ˆk,dA=ΔxΔyˆj,Sobre V6 para AHCB,ˆn=ˆk,dA=ΔxΔyˆk.Ignorando las contribuciones diferentes de orden superior, tenemos:V1VdA=(v1+v1xΔx2)ΔyΔz,V2VdA=(v1v1xΔx2)ΔyΔz,V3VdA=(v2+v2yΔy2)ΔxΔz,V4VdA=(v2v2yΔy2)ΔxΔz,V5VdA=(v3+v3zΔz2)ΔxΔy,V6VdA=(v3v3zΔz2)ΔxΔy.Sumando todos los resultados anteriores se obtieneVVdA=(v1x+v2y+v3z)ΔxΔyΔz=VΔV.Por lo tanto,V=limΔV01ΔVVVdA
Teorema 2. El gradiente de un campo escalar ϕ en su forma integral es:ϕ=limΔV01ΔVVϕdA,donde ΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada V. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar el gradiente ϕ cuando ΔV tiende a cero.

Demostración. Siguiendo el mismo procedimiento del teorema anterior tenemos:V1ϕdA=ˆi(ϕ+ϕxΔx2)ΔyΔz,V2ϕdA=ˆi(ϕϕxΔx2)ΔyΔz,V3ϕdA=ˆj(ϕ+ϕyΔy2)ΔxΔz,V4ϕdA=ˆj(ϕϕyΔy2)ΔxΔz,V5ϕdA=ˆk(ϕ+ϕzΔz2)ΔxΔy,V6ϕdA=ˆk(ϕϕzΔz2)ΔxΔy.Sumando todos los resultados anteriores se obtieneVϕdA=[ˆi(ϕx)+ˆj(ϕy)+ˆk(ϕz)]ΔxΔyΔz=ϕΔV.Por lo tanto,ϕ=limΔV01ΔVVϕdA
Teorema 3.
El rotacional de un campo vectorial V en su forma integral es:×V=limΔV01ΔVVdA×V,donde ΔV es el volumen limitado por una superficie cerrada V. Este volumen contiene el punto en el cual se va a evaluar el rotacional ×V cuando ΔV tiende a cero.

Demostración. Siguiendo el mismo procedimiento del teorema 1 tenemos:V1dA×V=ˆi×(v1ˆi+v2ˆj+v3ˆk)ΔyΔz=(v2ˆkv3ˆj)ΔyΔz=[(v2+v2xΔx2)ˆk(v3+v3xΔx2)ˆj]ΔyΔz.De manera similar se tieneV2dA×V=[(v2v2xΔx2)ˆk+(v3v3xΔx2)ˆj]ΔyΔz,V3dA×V=[(v1+v1yΔy2)ˆk+(v3+v3yΔy2)ˆi]ΔxΔz,V4dA×V=[(v1v1yΔy2)ˆk(v3v3yΔy2)ˆi]ΔxΔz,V5dA×V=[(v1+v1zΔz2)ˆj(v2+v2zΔz2)ˆi]ΔxΔy,V6dA×V=[(v1v1zΔz2)ˆj+(v2v2zΔz2)ˆi]ΔxΔy.Sumando todos los resultados anteriores se obtieneVdA×V=[ˆi(v3yv2z)+ˆj(v1zv3x)+ˆk(v2xv1y)]ΔxΔyΔz.Por lo tanto,×V=limΔV01ΔVVdA×V
Lema. Se puede deducir de los teoremas 1-3, que la representación integral del operador está dado por:=limΔV01ΔVVdA
Definición 1.
La componente del rotacional ×V en la dirección de ˆn es:ˆn×V=limΔA01ΔACVdr.donde ΔA es el área limitada por una curva cerrada C y ˆn es el vector normal unitario asociado con ΔA. Está área contiene el punto en el cual se va a evaluar el rotacional ×V cuando ΔA tiende a cero.

Teorema 4. La definición 1 es equivalente con el rotacional de V, definido como el producto cruz de y V.

Fig. 2 Diferencial de área ΔA sobre el plano yz.

Demostración. Si un rectángulo EFGH con respecto al punto (x,y,z) tiene lados Δy y Δz, como se muestra en la Fig. 2, entonces ΔA=ˆiΔyΔz. Ahora, si V=v1ˆi+v2ˆj+v3ˆk, entoncesPara el lado EF, dr=ˆjdy,EFVdr=(v2v2zΔz2)Δy,Para el lado FG, dr=ˆkdz,FGVdr=(v3+v3yΔy2)Δz,Para el lado GH, dr=ˆjdy,GHVdr=(v2+v2zΔz2)Δy,Para el lado HE, dr=ˆkdz,HEVdr=(v3v3yΔy2)Δz.Sumando estos resultados se tiene:CVdr=(v3yv2z)ΔyΔz.Note que ˆi(×V)=limΔA01ΔACVdr=(v3yv2z).De manera semejante integrado alrededor de rectángulos en los planos xz, xy ó por simple permutación cíclica de x,y,z y 1,2,3, se tiene:ˆj(×V)=(v1zv3x),ˆk(×V)=(v2xv1y).Como cualquier vector A, se puede escribir en la forma A=(Aˆi)ˆi+(Aˆj)ˆj+(Aˆk)ˆk se concluye que:×V=(v3yv2z)ˆi+(v1zv3x)ˆj+(v2xv1y)ˆk=|ˆiˆjˆkxyzv1v2v3|.
Se recomienda ver el siguiente vídeo.


Vídeo 1. Divergencia y Rotor

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