Distribución Binomial

Es muy común en la naturaleza encontrar situaciones donde solo hay dos posibles resultados para un suceso proveniente de un experimento aleatorio; ocurre o no ocurre. La probabilidad de ocurrencia del suceso debe permanecer constante y se denota con $p$, además, la ocurrencia de un suceso no interfiere con otros sucesos (independencia). A esté tipo de situaciones se denomina ensayo Bernoulli. El propósito de la distribución binomial es medir la probabilidad de obtener un número determinado de sucesos que ocurren, en una secuencia de ensayos tipo Bernoulli.

La distribución binomial es útil en una amplia variedad de campos, incluyendo la investigación médica, la psicología, la economía, la biología, la ingeniería y muchas otras áreas. Algunas aplicaciones específicas incluyen:

• En investigación médica, se puede utilizar para determinar la eficacia de un nuevo tratamiento en pacientes, calculando la probabilidad de que un número específico de pacientes responda al tratamiento.
• En psicología, se puede utilizar para estudiar la probabilidad de que un número específico de participantes obtenga una respuesta correcta en un examen o prueba.
• En economía, se puede utilizar para modelar el número de ventas de un producto necesario para alcanzar un objetivo de ganancias específico.
• En biología, se puede utilizar para estudiar la probabilidad de que un número específico de individuos de una población tenga una cierta característica genética.

En general, la distribución binomial es una herramienta útil para modelar situaciones en las que se requiere un número específico de éxitos en un experimento binomial y se desea conocer la probabilidad de que esto suceda.

Función de densidad

Para deducir la distribución binomial, primero se debe calcular la probabilidad de obtener, en $n$ ensayos, $x$ éxitos consecutivos de $n-x$ fracasos consecutivos.  Ahora, puesto que los ensayos son independientes entre si, esto es: $$p^x(1-p)^{n-x}.$$ Por tanto, la probabilidad de obtener exactamente $x$ éxitos y $n-x$ fracasos en cualquier otro orden, es el producto de  $p^x(1-p)^{n-x}$ (se denota $q=1-p$) por el número de combinaciones posibles en los que se pueden obtener, es decir: $$p_{_{\cal B}}(x)=\left(\begin{matrix}n \\x \\ \end{matrix}\right)p^{x}q^{n-x}\quad \text{donde} \quad x=0,1,2,\dots ,n\quad\text{y}\quad 0<p<1.$$Para denotar que una variable aleatoria sigue una distribución binomial de parámetros $n$ y $p$, se escribe $X\sim {\cal B}(n,p)$.

Iteración de la función de densidad

A partir de la siguinte propiedad para los coeficientes binomiales\begin{align*}C_x^n=\left(\frac{n-x+1}{x}\right)C^n_{x-1}\,,\end{align*}se puede construir la función de distribución ${\cal B}(n,p)$ mediante la iteración definida por:

• $f(0)=q^n$   valor inicial.
• $f(i)=\left(\frac{np-ip+p}{iq}\right)f(i-1)$   para    $i\geq 1$.

A continuación se presentan dos Applets creadas en Rstudio cuyas variables tiene una distribución ${\cal B}(n,p)$.

Simulaciones de la distribución binomial

Applet 1. Rectángulo de clústeres de tamaño $n\times m$ con $n\leq m$ y donde cada clúster tiene una probabilidad de coloración fija de $p<1$.

Applet 2. Generador de distrubuciones ${\cal B}(n,p)$