Combinaciones y Permutaciones

El número de subconjuntos de $r$ elementos que pueden ser seleccionados de un conjunto de $n$ elementos distintos, es: \begin{align}nCr=\frac{n!}{r!(n-r)!}.\end{align} A esto se le conoce como combinación y se lee $n$ combinado $r$. Es de notar, que el orden de aparición de los elementos es irrelevante.

Las formas posibles de ordenar $r$ elementos, seleccionados de un conjunto de $n$ elementos distintos, es: \begin{align}nPr=\frac{n!}{(n-r)!}=r!\,nCr.\end{align} Esto es llamado permutación y se lee $n$ permutado $r$. Note que: $r!$ es el factor de ordenamiento y $nCr$ el factor de escogencia.

Ejemplo 1: Sea el conjunto conformado por las primeras cuatro letras del abecedario  $$S=\{a,b,c,d\}$$ El número de combinaciones conformado por tres letras del conjunto $S$, es $4C3=4$ y estas son: $$\{abc, abd, acd, bcd \}.$$ Mientras que las permutaciones de tres letras del conjunto $S$, son:

\begin{align}\begin{cases} abc, acb, bac, bca, cab, cba\\abd, adb, bad, bda, dab, dba\\acd, adc, cad, cda, dac, dca\\bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb.\end{cases}\end{align}

Note que: \begin{align}4P3=3!\,4C3=6\times 4=24,\end{align}es decir, hay cuatro subconjuntos distintos de tres letras y seis formas de ordenar cada uno de estos.

Combinaciones y el triángulo de Pascal: Es importante reconocer la relación que hay entre las combinaciones y el triángulo de Pascal (véase la Fig. 1), note que los números de la fila 8 que esta en amarillo, corresponde a la cantidad de subconjuntos de:\begin{align}\text{0 elementos}\,\, 8C0&=1\hspace{1.4cm}\text{1 elementos}\,\, 8C1=8\hspace{1.4cm}\text{2 elementos}\,\, 8C2=28\\\text{3 elementos}\,\, 8C3&=56\hspace{1.1cm}\text{4 elementos}\,\, 8C4=70\hspace{1.1cm}\text{5 elementos}\,\, 8C5=56\\\text{6 elementos}\,\, 8C6&=28\hspace{1.1cm}\text{7 elementos}\,\, 8C7=8\hspace{1.4cm}\text{8 elementos}\,\,8C8=1\end{align}que se pueden formar de un conjunto universal  compuesto de ocho elementos.

Fig.1 Triángulo de Pascal

Ahora, supóngase que un conjunto que consiste de $n$ objetos de los cuales $n_1$ son de un tipo (es decir no se podrían distinguir entre sí), $n_2$ son de un segundo tipo$,\dots, n_k$ son los del $k$-ésimo tipo. Aquí, lógicamente, $n=n_1+n_2+\cdots+n_k$. Entonces, el número de permutaciones diferentes de los objetos es $$nPn_1,n_2,\dots, n_k=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$