Distribución Poisson

Llamada así en honor a Siméon-Denis Poisson, matemático francés del siglo XIX, quien fue el primero en describirla. Esta distribución es muy útil cuando se requiere modelar fenómenos espaciales o temporales. Algunos ejemplos típicos son: El número de personas que llegan a un hospital en un intervalo de tiempo, el número de bacterias en un cultivo, el número total de particulas contenidas en un diferencial de volumen aislado del resto de un fluido, etc. De hecho, la distribución de Poisson es el principal modelo probabilistico empleado para analizar problemas de lineas de espera.

Se denomina experimento Poisson a los eventos que ocurren en un intervalo de tiempo de cualquier duración o de una  región espacial, la cual podría ser, un segmento de línea, de área, de volumen, etc. Ademas, un experimento Poisson tiene las siguientes propiedades:

• El número de eventos en un intervalo temporal o espacial es independiente del número de eventos en otros intervalos. De esta forma se garantiza que la ocurrencia de los eventos son independientes o que no tienen memoria.
• La probabilidad que ocurra un evento durante un intervalo muy pequeño,  es proporcional a la longitud del mismo y que ocurra más de un evento es despreciable.

Para deducir la distribución Poisson, considérese un intervlo de magnitud $S$ dividido en $n$ partes con $n$ lo suficientemente grande, dejando por tanto subsegmentos iguales, de magnitud $S/n$. En virtud a las hipótesis expuestas arriba, cada subsegmento contendrá un evento o ninguno, siendo $\lambda S/n$ la probabilidad que contenga un evento y por tanto $(1-\lambda S/n)$ la probabilidad que no lo contenga.

Ahora, al examinar uno a uno los subsegmentos, se puede considerar esto como una secuencia de $n$ ensayos Bernoulli en el cual ocurre o no un evento, formando con esto una distribución binomial ${\cal B}(n,\lambda S/n)$, es decir, la función de densidad es: \begin{align}p_{\cal}(x)&=\left(\begin{matrix}n \\ x \\\end{matrix} \right)\left(\frac{\lambda S}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^{n-x}\\ &=\left[\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-x+1}{n}\right]\frac{\left(\lambda S\right)^x}{x!}\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^{-x}, \end{align}haciendo $n\to\infty$ y teniendo en cuenta que $\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^n=e^{-\lambda S},$ \begin{align} p_{\cal}(x)=e^{-\lambda S}\frac{\left(\lambda S\right)^x}{x!}.
\end{align} Para denotar que una variable aleatoria sigue una distribución Poisson de parámetro $\lambda S$, se escribe $X\sim{\cal P}(\lambda S)$. Si se hace $S=1$, se obtiene la distribucion ${\cal P}(\lambda)$ la cual corresponde al número de eventos por unidad de longitud.