Llamada así en honor a Siméon-Denis Poisson, matemático francés del siglo XIX, quien fue el primero en describirla. Esta distribución es muy útil cuando se requiere modelar fenómenos espaciales o temporales. Algunos ejemplos típicos son: El número de personas que llegan a un hospital en un intervalo de tiempo, el número de bacterias en un cultivo, el número total de particulas contenidas en un diferencial de volumen aislado del resto de un fluido, etc. De hecho, la distribución de Poisson es el principal modelo probabilistico empleado para analizar problemas de lineas de espera.
Se denomina experimento Poisson a los eventos que ocurren en un intervalo de tiempo de cualquier duración o de una región espacial, la cual podría ser, un segmento de línea, de área, de volumen, etc. Ademas, un experimento Poisson tiene las siguientes propiedades:
- El número de eventos en un intervalo temporal o espacial es independiente del número de eventos en otros intervalos. De esta forma se garantiza que la ocurrencia de los eventos son independientes o que no tienen memoria.
- La probabilidad que ocurra un evento durante un intervalo muy pequeño, es proporcional a la longitud del mismo y que ocurra más de un evento es despreciable.
Para deducir la distribución Poisson, considérese un intervlo de magnitud $S$ dividido en $n$ partes con $n$ lo suficientemente grande, dejando por tanto subsegmentos iguales, de magnitud $S/n$. En virtud a las hipótesis expuestas arriba, cada subsegmento contendrá un evento o ninguno, siendo $\lambda S/n$ la probabilidad que contenga un evento y por tanto $(1-\lambda S/n)$ la probabilidad que no lo contenga.
Ahora, al examinar uno a uno los subsegmentos, se puede considerar esto como una secuencia de $n$ ensayos Bernoulli en el cual ocurre o no un evento, formando con esto una distribución binomial ${\cal B}(n,\lambda S/n)$, es decir, la función de densidad es: \begin{align}p_{\cal}(x)&=\left(\begin{matrix}n \\ x \\\end{matrix} \right)\left(\frac{\lambda S}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^{n-x}\\ &=\left[\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-x+1}{n}\right]\frac{\left(\lambda S\right)^x}{x!}\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^{-x}, \end{align}haciendo $n\to\infty$ y teniendo en cuenta que $\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda S}{n}\right)^n=e^{-\lambda S},$ \begin{align} p_{\cal}(x)=e^{-\lambda S}\frac{\left(\lambda S\right)^x}{x!}.
\end{align} Para denotar que una variable aleatoria sigue una distribución Poisson de parámetro $\lambda S$, se escribe $X\sim{\cal P}(\lambda S)$. Si se hace $S=1$, se obtiene la distribucion ${\cal P}(\lambda)$ la cual corresponde al número de eventos por unidad de longitud.
Modelo probabilístico de Poisson en el futbol
El modelo de Poisson es uno de los métodos estadísticos más utilizados para estimar la probabilidad de los diferentes marcadores posibles en un partido de fútbol. Su fundamento consiste en asumir que el número de goles anotados por cada equipo sigue una distribución de Poisson y que ambos procesos son independientes.
Variables aleatorias$$X=\text{Número de goles anotados por Argentina},$$y$$Y=\text{Número de goles anotados por Inglaterra}.$$Se supone que$$X\sim \operatorname{P}(\lambda_A),\qquad\text{y}\qquad Y\sim \operatorname{P}(\lambda_I),$$donde $\lambda_A$ y $\lambda_I$ representan el número esperado de goles para Argentina e Inglaterra, respectivamente.
Estimación del parámetro $\lambda$
Para estimar el promedio esperado de goles de cada selección se combina el promedio de goles anotados por el equipo con el promedio de goles recibidos por su rival. Así, por ejemplo, para Argentina: $$\lambda_A=\frac{\overline{G}_{A,\text{anotados}}+\overline{G}_{I\text{recibidos}}}{2},$$mientras que para Inglaterra,$$\lambda_I=\frac{\overline{G}_{I,\text{anotados}}+\overline{G}_{A,\text{recibidos}}}{2}.$$Durante el mundial 2026 antes del partido entre (Arg vs Ing) se obtuvieron los siguientes promedios:$$\overline{G}_{A,\text{anotados}}=\frac{17}{6}=2.83,\qquad\overline{G}_{A,\text{recibidos}}=\frac{6}{6}=1,$$$$\overline{G}_{I,\text{anotados}}=\frac{13}{6}=2.17,\qquad\overline{G}_{I,\text{recibidos}}=\frac{6}{6}=1.$$Por lo tanto,$$\lambda_A=\frac{2.83+1}{2}=1.915, \qquad \text{y}\qquad \lambda_I=\frac{2.17+1}{2}=1.585.$$En consecuencia,$$X\sim\operatorname{P}(1.915),\qquad Y\sim\operatorname{P}(1.585).$$
Distribución de Poisson
La función de probabilidad de una distribución de Poisson viene dada por$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},$$donde
\end{align} Para denotar que una variable aleatoria sigue una distribución Poisson de parámetro $\lambda S$, se escribe $X\sim{\cal P}(\lambda S)$. Si se hace $S=1$, se obtiene la distribucion ${\cal P}(\lambda)$ la cual corresponde al número de eventos por unidad de longitud.
Modelo probabilístico de Poisson en el futbol
El modelo de Poisson es uno de los métodos estadísticos más utilizados para estimar la probabilidad de los diferentes marcadores posibles en un partido de fútbol. Su fundamento consiste en asumir que el número de goles anotados por cada equipo sigue una distribución de Poisson y que ambos procesos son independientes.
Variables aleatorias$$X=\text{Número de goles anotados por Argentina},$$y$$Y=\text{Número de goles anotados por Inglaterra}.$$Se supone que$$X\sim \operatorname{P}(\lambda_A),\qquad\text{y}\qquad Y\sim \operatorname{P}(\lambda_I),$$donde $\lambda_A$ y $\lambda_I$ representan el número esperado de goles para Argentina e Inglaterra, respectivamente.
Estimación del parámetro $\lambda$
Para estimar el promedio esperado de goles de cada selección se combina el promedio de goles anotados por el equipo con el promedio de goles recibidos por su rival. Así, por ejemplo, para Argentina: $$\lambda_A=\frac{\overline{G}_{A,\text{anotados}}+\overline{G}_{I\text{recibidos}}}{2},$$mientras que para Inglaterra,$$\lambda_I=\frac{\overline{G}_{I,\text{anotados}}+\overline{G}_{A,\text{recibidos}}}{2}.$$Durante el mundial 2026 antes del partido entre (Arg vs Ing) se obtuvieron los siguientes promedios:$$\overline{G}_{A,\text{anotados}}=\frac{17}{6}=2.83,\qquad\overline{G}_{A,\text{recibidos}}=\frac{6}{6}=1,$$$$\overline{G}_{I,\text{anotados}}=\frac{13}{6}=2.17,\qquad\overline{G}_{I,\text{recibidos}}=\frac{6}{6}=1.$$Por lo tanto,$$\lambda_A=\frac{2.83+1}{2}=1.915, \qquad \text{y}\qquad \lambda_I=\frac{2.17+1}{2}=1.585.$$En consecuencia,$$X\sim\operatorname{P}(1.915),\qquad Y\sim\operatorname{P}(1.585).$$
Distribución de Poisson
La función de probabilidad de una distribución de Poisson viene dada por$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},$$donde
- $k$ representa el número de goles.
- $\lambda$ corresponde al promedio esperado de goles.
Ejemplo para Argentina: Como$$X\sim\operatorname{Poisson}(1.915),$$la probabilidad de que Argentina marque exactamente un gol es$$P(X=1)=\frac{e^{-1.915}(1.915)^1}{1!}\approx0.2822,$$Es decir,$$P(X=1)\approx28.22\%.$$Análogamente, la probabilidad de que Argentina marque exactamente dos goles es\[P(X=2)=\frac{e^{-1.915}(1.915)^2}{2!}\approx0.2702.\]Por lo tanto,\[P(X=2)\approx27.02\%.\]Ejemplo para Inglaterra: De forma similar,\[Y\sim\operatorname{Poisson}(1.585),
\]y la probabilidad de que Inglaterra marque exactamente un gol es\[P(Y=1)=\frac{e^{-1.585}(1.585)^1}{1!}\approx0.3248.\]Por consiguiente,\[P(Y=1)\approx32.48\%.\]Asimismo,\[P(Y=2)=\frac{e^{-1.585}(1.585)^2}{2!}\approx0.2574,\]o equivalentemente,\[P(Y=2)\approx25.74\%.\]
Probabilidad de un marcador (Arg vs Ing)
Una de las hipótesis fundamentales del modelo es que los goles anotados por ambos equipos son independientes. Bajo esta hipótesis,\[P(X=i,Y=j)=P(X=i)\,P(Y=j).\]Esta expresión permite calcular la probabilidad de cualquier marcador posible.Por ejemplo, la probabilidad del marcador $1-1$ es
\[P(1,1)=P(X=1)\,P(Y=1).\]Sustituyendo los valores obtenidos,\[P(1,1)=0.2822\times0.3248\approx0.09166,\]es decir,\[P(1,1)\approx9.166\%.\]De igual forma, la probabilidad del marcador $2-1$ es\[P(2,1)=P(X=2)\,P(Y=1),\]por lo que\[P(2,1)=0.2702\times0.3248\approx0.08776,\]equivalente a\[P(2,1)\approx8.776\%.\]
Restricción del espacio muestral
En este trabajo únicamente se consideran los marcadores comprendidos entre $0$ y $3$ goles para cada selección. El espacio muestral queda definido como\[S=\{(i,j):i,j\in\{0,1,2,3\}\}.\]Por tanto,\[|S|=16.\]Sin embargo, la distribución de Poisson permite obtener probabilidades para cualquier cantidad de goles, \(0,1,2,3,4,\ldots\). Por esta razón, la suma de las probabilidades de los dieciséis marcadores no es igual a uno.
\begin{table}[htbp]
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{c|cccc}
\hline
\textbf{Marcador} & \textbf{Ing 0} & \textbf{Ing 1} & \textbf{Ing 2} & \textbf{Ing 3} \\
\hline
\textbf{Arg 0} & 3.020 & 4.786 & 3.793 & 2.004 \\
\textbf{Arg 1} & 5.783 & 9.166 & 7.264 & 3.838 \\
\textbf{Arg 2} & 5.537 & 8.776 & 6.955 & 3.675 \\
\textbf{Arg 3} & 3.534 & 5.602 & 4.440 & 2.346 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Porcentajes sin normalizar.}
\end{table}
Para que dichas probabilidades constituyan un espacio muestral válido, es necesario normalizarlas mediante\[P_N(i,j)=\frac{P(i,j)}{\displaystyle\sum_{r=0}^{3}\sum_{s=0}^{3}P(r,s)}.\]De esta manera,\[\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}P_N(i,j)=1.\]Finalmente, las probabilidades normalizadas permiten comparar los dieciséis marcadores considerados y calcular las probabilidades de victoria, empate o derrota dentro del espacio muestral definido. En la siguiente tabla se presentan los datos normalizados.
\begin{table}[htbp]
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{c|cccc}
\hline
\textbf{Marcador} & \textbf{Ing 0} & \textbf{Ing 1} & \textbf{Ing 2} & \textbf{Ing 3} \\
\hline
\textbf{Arg 0} & 3.75 & 5.94 & 4.71 & 2.49 \\
\textbf{Arg 1} & 7.18 & \textcolor{red}{11.38} & 9.02 & 4.77 \\
\textbf{Arg 2} & 6.88 & \textcolor{red}{10.90} & 8.64 & 4.56 \\
\textbf{Arg 3} & 4.39 & 6.96 & 5.51 & 2.91 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Porcentajes normalizados.}
\end{table}
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