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Conjunto de números complejos

Un número complejo es un par ordenado de dos números reales (a,b) o a+ib donde i es 1. De modo similar, una variable compleja es un par ordenado de dos variables reales z=x+iy. Es conveniente usar la representación gráfica de la variable compleja. Al tener x, la parte real de z, como la abscisa e y, la parte imaginaria de z, como la ordenada, se forma el plano complejo que se muestra a continuación:  

Fig.1 Plano Complejo

Así mismo, de la Fig. 1, se puede identificar x=rcosθy=rsinθ. y por tanto z=r(sinθ+icosθ).El complejo conjugado de z se designa con z y surge de la operación de sustituir i por i, es dicir; z=xiy La variable compleja de z y su conjugado z son imagenes de espejo entre si reflejadas en el eje x, tal como se muestra en la Fig. 2. 

Fig. 2 Complejo conjugado

El producto zz origina zz=(x+iy)(xiy)=x2+y2=r2 En consecuencia |z|=zz es decir, la magnitud de z.

Por ultimo, se puede demostrar que la representación polar de z es z=reiθ. En esta representación, r se denomina el módulo de z(r=|z|) y el ángulo θ el argumento o la fase de z, la cual se denota con arg(z)

Propiedades
1. El módulo de la suma de dos números complejos no es mayor que la suma de los módulos y no es menor que su diferencia, es decir: |z1||z2||z1+z2||z1|+|z2|.
2. Usando la forma polar, es evidente que la magnitud del producto es el producto de las magnitudes, |z1z2|=|z1||z2|. Asimismo, arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)

Funciones de una variable compleja. Todas las funciones elementales de variables reales se pueden ampliar al plano complejo sustituyendo la variable real x por la varible compleja z.

Ejemplo 1. Si f(z)=z2, se tiene f(z)=(x+iy)2=(x2y2)i2xyLa parte real de una función f(z) se denomina Re(f(z)), mientras que la parte imaginaria se denomina Im(f(z)). En nuestro ejemplo: Re(f(z))=u(x,y)=x2y2Im(f(z))=v(x,y)=2xy.Note que la función f(z) se pudo escribir en la forma f(z)=u(x,y)+iv(x,y) en donde las funciones u(x,y) y v(x,y) son reales puras.

Ejemplo 2. Si f(z)=1z, se tiene f(z)=1x+iy=1x+iyxiyxiy=xiyx2+y2La parte real e imaginaria de la función f(z) corresponden respectivamente a: u(x,y)=xx2+y2v(x,y)=yx2+y2. Si se quiere evaluar la función en un punto especifico, por ejemplo, en z=1+i, se debe identificar el valor de x e y. En este caso x=1 e y=1, luego se evaluan en las funciones u(x,y) y v(x,y): u(1,1)=112+12=12v(1,1)=112+12=12Por último, se forma la función envaluada en 1+i, dando como resultado f(1+i)=u(1,1)+iv(1,1)=12(1i)

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