Un número complejo es un par ordenado de dos números reales (a,b) o a+ib donde i es √−1. De modo similar, una variable compleja es un par ordenado de dos variables reales z=x+iy. Es conveniente usar la representación gráfica de la variable compleja. Al tener x, la parte real de z, como la abscisa e y, la parte imaginaria de z, como la ordenada, se forma el plano complejo que se muestra a continuación:
Fig.1 Plano Complejo
Así mismo, de la Fig. 1, se puede identificar x=rcosθy=rsinθ. y por tanto z=r(sinθ+icosθ).El complejo conjugado de z se designa con z∗ y surge de la operación de sustituir i por −i, es dicir; z∗=x−iy La variable compleja de z y su conjugado z∗ son imagenes de espejo entre si reflejadas en el eje x, tal como se muestra en la Fig. 2.
Fig. 2 Complejo conjugado
El producto zz∗ origina zz∗=(x+iy)(x−iy)=x2+y2=r2 En consecuencia |z|=√zz∗ es decir, la magnitud de z.
Por ultimo, se puede demostrar que la representación polar de z es z=reiθ. En esta representación, r se denomina el módulo de z(r=|z|) y el ángulo θ el argumento o la fase de z, la cual se denota con arg(z).
Propiedades
1. El módulo de la suma de dos números complejos no es mayor que la suma de los módulos y no es menor que su diferencia, es decir: |z1|−|z2|≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
2. Usando la forma polar, es evidente que la magnitud del producto es el producto de las magnitudes, |z1⋅z2|=|z1||z2|. Asimismo, arg(z1⋅z2)=arg(z1)+arg(z2)
Funciones de una variable compleja. Todas las funciones elementales de variables reales se pueden ampliar al plano complejo sustituyendo la variable real x por la varible compleja z.
Ejemplo 1. Si f(z)=z2, se tiene f(z)=(x+iy)2=(x2−y2)−i2xyLa parte real de una función f(z) se denomina Re(f(z)), mientras que la parte imaginaria se denomina Im(f(z)). En nuestro ejemplo: Re(f(z))=u(x,y)=x2−y2Im(f(z))=v(x,y)=2xy.Note que la función f(z) se pudo escribir en la forma f(z)=u(x,y)+iv(x,y) en donde las funciones u(x,y) y v(x,y) son reales puras.
Ejemplo 2. Si f(z)=1z, se tiene f(z)=1x+iy=1x+iyx−iyx−iy=x−iyx2+y2La parte real e imaginaria de la función f(z) corresponden respectivamente a: u(x,y)=xx2+y2v(x,y)=−yx2+y2. Si se quiere evaluar la función en un punto especifico, por ejemplo, en z=1+i, se debe identificar el valor de x e y. En este caso x=1 e y=1, luego se evaluan en las funciones u(x,y) y v(x,y): u(1,1)=112+12=12v(1,1)=−112+12=−12Por último, se forma la función envaluada en 1+i, dando como resultado f(1+i)=u(1,1)+iv(1,1)=12(1−i)
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