Un número complejo es un par ordenado de dos números reales $(a,b)$ o $a+ib$ donde $i$ es $\sqrt{-1}$. De modo similar, una variable compleja es un par ordenado de dos variables reales $$z=x+iy.$$ Es conveniente usar la representación gráfica de la variable compleja. Al tener $x$, la parte real de $z$, como la abscisa e $y$, la parte imaginaria de $z$, como la ordenada, se forma el plano complejo que se muestra a continuación:
Fig.1 Plano Complejo
Así mismo, de la Fig. 1, se puede identificar \begin{align}x&=r\cos{\theta}\\y&=r\sin{\theta}.\end{align} y por tanto \begin{align}z=r(\sin{\theta}+i\cos{\theta}).\end{align}El complejo conjugado de $z$ se designa con $z^*$ y surge de la operación de sustituir $i$ por $-i$, es dicir; $$z^*=x-iy$$ La variable compleja de $z$ y su conjugado $z^*$ son imagenes de espejo entre si reflejadas en el eje $x$, tal como se muestra en la Fig. 2.
Fig. 2 Complejo conjugado
El producto $zz^*$ origina $$zz^*=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=r^2$$ En consecuencia $$|z|=\sqrt{zz^*}$$ es decir, la magnitud de $z$.
Por ultimo, se puede demostrar que la representación polar de $z$ es $$z=re^{i\theta}.$$ En esta representación, $r$ se denomina el módulo de $z (r=|z|)$ y el ángulo $\theta$ el argumento o la fase de $z$, la cual se denota con $arg(z)$.
Propiedades
1. El módulo de la suma de dos números complejos no es mayor que la suma de los módulos y no es menor que su diferencia, es decir: $$|z_1|-|z_2|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|.$$
2. Usando la forma polar, es evidente que la magnitud del producto es el producto de las magnitudes, $$|z_1\cdot z_2|=|z_1||z_2|.$$ Asimismo, $$arg(z_1\cdot z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)$$
Funciones de una variable compleja. Todas las funciones elementales de variables reales se pueden ampliar al plano complejo sustituyendo la variable real $x$ por la varible compleja $z$.
Ejemplo 1. Si $f(z)=z^2$, se tiene \begin{align}f(z)&=(x+iy)^2\\&=(x^2-y^2)-i\,2xy\end{align}La parte real de una función $f(z)$ se denomina $Re(f(z))$, mientras que la parte imaginaria se denomina $Im(f(z))$. En nuestro ejemplo: \begin{align}Re(f(z))&=u(x,y)=x^2-y^2\\Im(f(z))&=v(x,y)=2xy.\end{align}Note que la función $f(z)$ se pudo escribir en la forma $$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$ en donde las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son reales puras.
Ejemplo 2. Si $f(z)=\frac{1}{z}$, se tiene \begin{align}f(z)&=\frac{1}{x+iy}\\&=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy}\\&=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\end{align}La parte real e imaginaria de la función $f(z)$ corresponden respectivamente a: \begin{align}u(x,y)&=\frac{x}{x^2+y^2}\\v(x,y)&=-\frac{y}{x^2+y^2}.\end{align} Si se quiere evaluar la función en un punto especifico, por ejemplo, en $z=1+i$, se debe identificar el valor de $x$ e $y$. En este caso $x=1$ e $y=1$, luego se evaluan en las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$: \begin{align}u(1,1)&=\frac{1}{1^2+1^2}=\frac{1}{2}\\v(1,1)&=-\frac{1}{1^2+1^2}=-\frac{1}{2}\end{align}Por último, se forma la función envaluada en $1+i$, dando como resultado $$f(1+i)=u(1,1)+iv(1,1)=\frac{1}{2}(1-i)$$
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