Campos irrotacionales y solenoidales

Teorema 1. Un campo vectorial $\vec{V}$ se llama irrotacional en una región $R$ del espacio si$$\nabla\times\vec{V}=0$$en todas partes de $R$. En un campo vectorial $\vec{V}$ irrotacional en una región simplemente conexa, cualquiera de las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $\nabla\times\vec{V}=0$.
2. $\vec{V}$ es el gradiente de un campo escalar, es decir; $\vec{V}=\nabla\phi$.
3. Para toda curva cerrada $C$ de $R$, $\oint_C\vec{V}\cdot d\vec{r}=0$.

Teorema 2. Un campo vectorial $\vec{V}$ se llama solenoidal en una región $R$ del espacio si$$\nabla\cdot\vec{V}=0$$en todas partes de $R$. En un campo vectorial $\vec{V}$ solenoidal en una región simplemente conexa, cualquiera de las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $\nabla\cdot\vec{V}=0$.
2. $\vec{V}$ es el rotacional de un campo vectorial, es decir; $\vec{V}=\nabla\times\vec{A}$.
3. Para toda superficie cerrada $S$ en $R$, $\oint_S\vec{V}\cdot d\vec{A}=0$.