La base de muchos posibles equivocaciones sobre la probabilidad es una creencia en algo conocido normalmente como la ley de los promedios, que afirma que cualquier no-uniformidad en sucesos aleatorios se cancela a la larga.
Por ejemplo, si los lanzamientos de una moneda dan caras muchas veces repetidas, entonces existe la creencia extendida de que en algún otro momento habrá un predominado de sellos para equilibrar las cosas.
¿Es cierto eso?
Supongamos que usted lanza una moneda justa muchísimas veces y representa el exceso de caras (C) sobre sellos (S) en una gráfica que muestra la diferencia acumulada en cada lanzamiento. Puede considerar esta gráfica como una curva que asciende cada vez que sale una cara y desciende un paso cada vez que sale un sello. De modo que la secuencia de lanzamientos $$CSSCCCSCSSSSCSCCSCCS$$ da lugar a la siguiente gráfica.
Una gráfica semejante se denomina un camino aleatorio.
En el caso concreto de esta gráfica, los números sí se equilibran muy a menudo, pero eso es un efecto engañoso debido a que han realizado sólo unos pocos lanzamientos. La Fig. 2 muestra una gráfica con un camino aleatorio típico para 10.000 lanzamientos. En este ejemplo concreto, las caras están por delante durante mucho tiempo. Este tipo de comportamiento sumamente desequilibrado es completamente normal (Puedes confirmar esto en el Applet 1): de hecho, la teoría de los caminos aleatorios demuestra que si usted hace ensayos consistentes en series de 10.000 lanzamientos de una moneda, entonces un lado de la moneda ira por delante al menos en 9.930 lanzamientos (y el otro en 70 o menos) en aproximadamente un ensayo de cada diez.
Fig. 2 Un camino aleatorio de 10.000 lanzamientos: las caras pasan mucho tiempo a la cabeza. Esto es absolutamente típico.
Sin embargo, la teoría de los caminos aleatorios también nos dice que la probabilidad de que el equilibrio no vuelva nunca a cero, es decir, que las caras dominen para siempre, es 0. En este sentido es en el que es cierta la ley de los promedios. Si usted espera el tiempo suficiente, entonces es casi seguro que los números de caras y sellos se igualarán. Pero este hecho no tiene implicaciones sobre la mejora de sus probabilidades de ganar cuando usted está apostando sobre si sale cara o sello. Las probabilidades no son afectadas, y usted no sabe cuán largo va a ser el "a la larga". Normalmente es muy largo.
En otras palabras, se puede tener un camino aleatorio completamente desequilibrado a favor de cualquier resultado, sin que este afecte la probabilidad de que salga cara o sello, de hecho, la proporción con la que sale cara o sello en un camino aleatorio cambia con el número de lazamientos, pero a medida que este número aumenta, la frecuencia de obtener cara o sello se acerca al valor teórico de 0.5. Esto se puede comprobar usando el siguiente applet.
Applet 1. Simulación de un camino aleatorio producido por una moneda.
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