Integración vectorial

Integrales de línea: Una curva $C$ se representa mediante: $$\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$$ donde $\vec{r}$ es el vector posición y $t$ es el parámetro. El vector de desplazamiento diferencial $d\vec{r}$ a lo largo de la curva $C$ es $d\vec{r}=x'(t)\hat{i}+y'(t)\hat{j}+z'(t)\hat{k}$.

Fig. 1 diferencial de longitud de curva.

Las integrales que incluyen un diferencial de desplazamiento $d\vec{r}$ se llaman integrales de línea. Consideremos las siguientes integrales a lo largo de una curva $C$ que puede ser abierta o cerrada:

• Integral de un campo escalar $$\begin{align}\int_C\phi\,d\vec{r}=\int_C\phi(dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}+dz\,\hat{k})\end{align}$$
• Integral de circulación de un campo vectorial $\vec{V}$ alrededor de $C$ $$\begin{align}\oint_C\vec{V}\cdot d\vec{r}=\oint_C(V_1\,\hat{i}+V_2\,\hat{j}+V_3\,\hat{k})\cdot(dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}+dz\,\hat{k})\end{align}$$
• Integral de circulación de un campo vectorial $\vec{V}$ perpendicular a $C$ $$\begin{align}\oint_C\vec{V}\times d\vec{r}&=\oint_C(V_1\,\hat{i}+V_2\,\hat{j}+V_3\,\hat{k})\times(dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}+dz\,\hat{k})\end{align}$$ es fácil probar que $V\times d\vec{r}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\V_1 & V_2 & V_3\\dx & dy & dz\end{vmatrix}$

Integrales de superficie: Una superficie $\partial V_\circ$ se representa mediante: $$\vec{r}(u,v)=x(u,v)\hat{i}+y(u,v)\hat{j}+z(u,v)\hat{k}$$ donde $\vec{r}$ es el vector posición y $u,v$ son parámetros. El elemento diferencial $d\vec{A}$ del área de la superficie es: $$d\vec{A}=\vec{r}_u\times\vec{r}_v\,dudv$$

Fig. 2 Diferencial de área

Las integrales que incluyen un diferencial de area $d\vec{A}$ se llaman integrales de superficie. Consideremos las siguientes integrales de superficie:

• Integral de un campo escalar definido en $\partial V_\circ$ $$\begin{align}\int_{\partial V_\circ}\phi\,d\vec{A}=\int_{\partial V_\circ}\phi\left(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right)dudv \end{align}$$
• Integral de flujo de un campo vectorial $\vec{V}$ a través de $\partial V_\circ$ $$\begin{align}\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\cdot d\vec{A}=\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\cdot\left(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right)dudv\end{align}$$
• Integral de flujo de un campo vectorial $\vec{V}$ perpendicular a $\partial V_\circ$ $$\begin{align}\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\times d\vec{A}&=\oint_{\partial V_\circ}\vec{V}\times\left(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right)dudv\end{align}$$

Integrales de Volumen:  Como el diferencial de volumen $dV$ es un escalar, solo es posible definir en un volumen $V_\circ$ dos tipos de integrales:

• Integral de un campo escalar $$\int_{V_\circ}\phi\,dV$$
• Integral de un campo vectorial $$\int_{V_\circ}\vec{V}\,dV$$

En el sistema coordenado rectangular $dV=dx\,dy\,dz$.

Nota: Aquí el símbolo de la integral se sobreentiende que corresponde a una triple integral, de igual forma, en las integrales de superficie a una doble integral. También cabe resaltar que denotamos $\partial V_\circ$ como la superficie que delimita al volumen $V_\circ$ lo cual es muy usado en física.